ЛОГИКА КЛАССОВ

ЛОГИКА КЛАССОВ
раздел логики, в котором рассматриваются классы (множества) предметов, задаваемые характеристическими свойствами этих предметов (элементов классов). В совр. логике Л. к. может пониматься как «алгебра множеств», т. е. интерпретироваться (см. Интерпретация) как совокупность закономерностей, которым удовлетворяют т. н. теоретико-множеств. операции: объединение (сумма), пересечение (произведение) и дополнение множеств, или же как изоморфная этой алгебре (см. Изоморфизм и гомоморфизм) логика одноместных предикатов, в свою очередь понимаемая как частный случай логики предикатов или как расширение логики высказываний. Изоморфизм упомянутых интерпретаций Л. к. обеспечивается взаимнооднозначным сопоставлением объектов, рассматриваемых в этих интерпретациях: множествам (классам) сопоставляются высказывания о принадлежности к.-л. предмета данному множеству, объединению множеств — конъюнкция соответствующих высказываний, пересечению — их дизъюнкция, а дополнению — отрицание. Рассматривая модель (реализацию, интерпретацию) Л. к. на предметной области, состоящей из одного-единственного элемента, вопрос об истинности или ложности к.-л. формулы Л. к. можно свести к вопросу относительно соответствующей формулы логики высказываний, подобно которой Л. к. оказывается, т. о., разрешимой. Поэтому в совр. логике Л. к, трактуют как одноместный фрагмент логики предикатов, изоморфный логике высказываний.
см. к ст. Логика.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

ЛОГИКА КЛАССОВ
раздел математич. логики, соответствующий такому усилению логики высказываний, при к-ром элементарные высказывания уже не рассматриваются только как нерасчленяемое дальше целое, а имеют специфич. субъектно-предикатную форму, характери-зующуюся тем, что понятия, входящие в элементарные высказывания, отождествляются с их объемами, т.е. с классами (множествами) объектов. [В нек-рых совр. курсах математич. логики (см., напр., W. Quine, Mathematical logic, 1940, или Р. Л. Гудстейн, Математическая логика, пер. с англ., 1961) под Л. к. понимается вообще определ. образом формализованная множеств теория, т.е. Л. к. рассматривается как расширение не логики высказываний, а предикатов исчисления ].
Отождествление понятия с его о б ъ е м о м в Л. к. предполагает, во-первых, что содержанием понятия является не отношение, а свойство. (В логике предикатов свойства выражаются одноместными предикатами, отношения же – не менее чем двуместными). Два свойства ? и Q – такие, что всякий предмет, обладающий одним из них, обладает и другим (определяющие, иными словами, один и тот же класс предметов), предполагаются, далее, неразличимыми средствами Л. к., т.е. все, что может быть сказано на "языке" Л. к. об одном из них, может быть сказано и о другом. Таковыми будут, напр. (в арифметике натуральных чисел), свойства: "быть четным простым числом" и "быть числом, следующим за единицей" (обоим соответствует один и тот же класс натуральных чисел, состоящий из одного лишь числа 2).
Чтобы сделать возможными более широкие применения Л. к. (особенно математические) и облегчить, наоборот, применение математики (в к-рой "0", обозначающий пустоту нек-рого множества объектов, трактуется как число объектов этого множества) к решению задач логики, в Л. к. пустой класс также причисляется обычно к числу классов любой предметной области (последняя, наоборот, предполагается непустой). Пустой класс считается при этом частью всякого класса: включается как часть во всякий класс (см. Пустое). В т.н. классической Л. к., помимо пустого класса, вводится еще и у н и в е р с а л ь н ы й к л а с с, состоящий из всех объектов подлежащей рассмотрению предметной области.
Задачей Л. к., рассматриваемой как расширение "классической" логики высказываний (только о такой Л. к. и будет идти речь), является уточнение формы элементарного высказывания и соответствующие обобщения понятия "закона логики" (тождественно-истинной формулы) и правил логич. вывода следствий из данных посылок. Как и в логике высказываний, вопрос о том, является ли данное заключение З логич. следствием из посылок П1, П2,..., Пк, сводится к вопросу о том, является ли формула Л. к. вида (Р1 ? (P2 ? ... ? (Рk ? Ф)...)) (где P1, P2,..., Pк ? – логич. формы высказываний П1, П2,..., Пк, З) "законом Л. к." или нет. Решение же последнего вопроса удается свести к решению ряда аналогичных вопросов из логики высказываний, т.е. и в Л. к. разрешения проблема оказывается разрешимой: существует алгоритм, позволяющий по форме выражения, записанного на "языке" Л. к., ответить "да" или "нет" на вопрос о том, является ли оно тождественно-истинной формулой ("законом") Л. к. Или нет.
Уточнение формы элементарного высказывания в Л. к. может производиться по-равному. В соответствии с задачами Л. к. оно должно содержать, однако, формы выражения сложных классов, построенных из к.-л. классов, принятых за элементарные. Это значит, что определению "формулы Л. к." должно предшествовать определение "терма Л. к.".
Чтобы терм действительно мог служить выражением способа построения класса из элементарных классов, определению терма, в свою очередь, должно предшествовать еще рассмотрение операций с классами. Это рассмотрение выполняется содержательно – с использованием отношения элемента класса к самому классу (соответственно, предмета к его свойству), к-рое в Л. к. еще не выразимо. (В Л. к. вообще нет никаких предметов, отличных от "классов". Но свойства операций с классами в ней уже выразимы). Осн. операциями обычно считаются: (1) п е р е с е ч е н и е к л а с с о в ? и ?, т.е. класс (? ? ?), состоящий из всех тех и только тех элементов, к-рые содержатся в обоих классах ? и ?; (2) о б ъ е д и н е н и е классов ? и ?, т.е. класс (? ? ?), состоящий из всех тех и только тех элементов, к-рые содержатся хотя бы в одном из классов ? или ?; (3) дополнени е класса ?, т.е. класс ?', состоящий из всех тех и только тех элементов универс. класса, к-рые не содержатся в классе ?.
Чтобы определить терм, остается еще расширить алфавит логики высказываний, добавив, напр., к нему: (1) к.-л. буквы а, b, с,... (или те же буквы с индексами), к-рых нет в алфавите логики высказываний, – переменные для классов, или "кл.-переменные", значениями к-рых могут быть классы (иногда добавляют еще и.знаки для постоянных: 0 – для пустого класса и 1 – для универс. класса); (2) знаки: ?, U, '. Определение терма может быть теперь таким: 1) кл.-переменная есть терм (если в алфавите есть 0 и 1, то они, по определению, также считаются термами), 2) если u и ? термы, то (u ? ?), (u U ?) – также термы; если u – терм, то u' также терм.
Чтобы определить форму элементарного высказывания Л. к., нужно еще иметь в алфавите знаки для нек-рых постоянных отношений, напр., "?" – для отношения включения одного класса в другой и "=" – для равенства классов. [Оба эти отношения, каждое из к-рых может быть выражено через другое, содержательно определяются обычно тоже через отношение элемента к классу: "класс ? включается в класс ?" (" ???"), если и только если каждый элемент класса ? есть элемент и класса ?; "класс ? равняется классу ?" ("?=?"), если и только если всякий элемент одного из этих классов есть также и элемент другого. Элементарную формулу Л. к. теперь можно определить так: если u и v – термы, то (u?v) и (u=v) – элементарные формулы. В остальном определение формулы Л. к. в точности повторяет определение формулы логики высказываний.
Четыре аристотелевы формы элементарных высказываний (А, I, Е, О) на этом "языке" Л. к. могут быть выражены так: "Все и суть v" как (u ? v); "Нек-рые и суть v" как (u ? v') (т.е. "неверно, что все и суть не-""); "Никакое u не есть v" как (u – v') (т.е. "всякое и есть не-v"); "Нек-рые u не суть ?" как (u ? v) (т.е. "неверно, что все u суть v").
В соответствии с содержат. истолкованием ("семантикой") Л. к. элементарные формулы Л. к. могут быть тождественно-истинными, и притом "тождественно-истинными" (или "общезна-чимыми") в нек-ром расширенном смысле. Так, напр., формула ((a ? b) c ? a), в нашем истолковании гласящая, что "Всякий элемент, содержащийся в обоих классах ?, ?, подставляемых на место переменных а и b, содержится в классе ?, подставляемом на место а", истинна не только для любых классов ?, ? к.-н. данной области D, но и для всяких классов ?, ? л ю б о й области D. В Л. к. всякая формула, обладающая тем свойством, что она является истинной при любых значениях входящих в нее переменных, и притом в любой области D, и называется "тождественно-истинной", или "общезначимой".
Если область D содержит лишь один предмет, в ней возможны лишь два класса: пустой (0) и универсальный (1). Всякая кл.-переменная может принимать поэтому в такой области лишь 2 значения: 0 и 1. Таблицы возможных значений для термов (u ? ?), (u U ?), u', 1, 0, соответствующие их семантич. истолкованию, примут в таком случае в точности тот же вид, какой имеют соответственно таблицы для формул (u & v), (u / ?), u при истолковании u и v как формул логики высказываний, "единицы" и "нуля" как "истины" и "лжи". Аналогично таблица возможных значений элементарной формулы (u с:?) будет иметь тот же вид, что и таблица для импликации (u з v) в логике высказываний; таблица для формулы (u = ?) - тот же вид, что и таблица для эквивалентности (u =v).
Поэтому если мы заменим в Ф, формуле Л. к., все элементарные формулы соответствующими им формулами логики высказываний (т.е. все знаки ?, U, ?, ',= на &, /, ?, , ? соответственно), то получим формулу Ф* логики высказываний, равнозначную (в смысле истинности или ложности) формуле Ф, когда последняя рассматривается в одноэлементной области. При этом оказывается (см. D. Hubert und W. Ackermann, Grundz?ge der theoretischen Logik, 1959, S. 51-56), что если (?) ? - элементарная формула Л. к., то вопрос о ее тождественно-истинности в Л. к. сводится к вопросу о тождественно-истинности в логике высказываний формулы Ф*. [Так, вопрос о тождественно-истинности в Л.к. формулы ((a ? b) ? a) сводится к вопросу о тождественно-истинности в логике высказываний формулы ((a&b) ? а). Аналогично обстоит дело для формул (в к-рых, согласно обычным соглашениям, скобки можно опустить) видов: (II)U и вообще (III) (1 / U2 / ... / Un), (IV) ( U / B)и, более общо, (V) ( U1 / ... / Un / B), где U1,U2,...., Un, B – элементарные формулы. И только в случае формулы вида (VI) ( B1 / ... / Bm / U1 U2 / .... / Un), (n >= 2, m >= 0), где все U1,..., Un, B1,..., Bm – элементарные формулы, вопрос о ее общезначимости в Л. к. не сводится к вопросу об общезначимости в логике высказываний соответствующей формулы Ф*, а решается путем сведения к вопросу об общезначимости хотя бы одной из ? формул: ( B1 / ... / Bm / Un) т.е. к случаю (V). Поскольку всякую формулу Л. к. можно привести (относительно ее элементарных формул) к конъюнктивной нормальной форме,члены к-рой всегда имеют один из видов (I)–(VI), то вопрос об общезначимости формулы Л. к. действительно сводится к вопросу об общезначимости нек-рых формул логики высказываний, т.е.решается алгоритмически (см. Алгоритм)).
Всякому модусу силлогистики Аристотеля, если U1 и U2 – посылки, B – заключение, соответствует формула Л. к.: ((U1 & U2) ? B), к-рая для всех модусов, за исключением darapti, felapton, bamalip и fesapo, оказывается тождественно-истинной в Л. к. Последние 4 модуса неверны в Л. к. потому, что в ней допускаются пустые классы, к-рых нет у Аристотеля. Однако если ввести соответствующую оговорку, т.е. добавить к числу посылок нужное допущение непустоты нек-рого класса, то и эти модусы дают правильное заключение в Л. к. (На "языке" Л. к. можно выразить непустоту класса ?, сказав, что "Нек-рые ? суть ?", т.е. что "Неверно, что все ? суть не-?": (? ? ?'). Если бы ? был пустой класс, то было бы верно, в частности, что "Все ? суть не-?").
Исторически – в трудах Лейбница, Иоганна и Даниила Бернулли (конец 17 – нач. 18 вв.), Буля, Джевонса, Шрёдера, Пирса, Порецкого, Дж. Венна и др. (2-я пол. 19 в.) – Л. к. возникла и развивалась в результате попыток свести решение логич. задач силлогистики Аристотеля к решению нек-рых задач арифметики, алгебры или геометрии. Именно для целей Л. к. была построена алгебра Буля (1854), сыгравшая существ, роль в развитии совр. абстрактной алгебры. Именно в применении к Л. к. появились первые приемы наглядного геометрич. решения задач логики: "круги" Эйлера и диаграммы Венна. Проблема разрешения для логики классов была решена впервые – на основании подготовивших ее решение работ Э. Шрёдера (1890–95) – Лёвенхеймом (1915). Более сильные результаты, относящиеся к расширенной Л. к. (допускающей и классы классов) или к эквивалентным ей логич. исчислениям, были получены в дальнейшем Т. Сколемом (1919), нем. математиком Г. Беманом (1922), Жегалкиным (1928–29) и др. Очень простые и остроумные решения предложены нем. Ученым B. Аккерманом и – для формализованной силлогистики Аристотеля – Лукасевичем.
В наст. время Л. к. редко излагается уже как особый раздел совр. (математической ) логики, поскольку ее задачи полностью решаются в логике предикатов (где ей соответствует логика одноместных предикатов); силлогистика же Аристотеля находит лучшее выражение в специально посвященном ее формализации исчислении Лукасевича.
Будучи таким усилением исчисления высказываний, в к-ром осн. логич. задачи остаются еще алгоритмически разрешимыми, Л. к. находит широкие применения в технике, прежде всего к синтезу машин, моделирующих нек-рые операции человеческого мышления.
Лит.: Кутюра Л., Алгебра логики, пер. с франц., О., 1909; Жегалкин И. И., Арифметизация символич. логики, Матем. сб., т. 35, вып. 3–4, 1928; т. 36, вып. 3–4, 1929; Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретич. логики, пер. с нем., М., 1947; гл. 2 и значительно усовершенствованное 4 нем. изд., Берлин, 1959, гл. 2; Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Клини C., Введение в метаматематику. М., 1957 (содержит подробную библиографию, в к-рой, в частности, имеются данные об упомянутых в тексте работах Бемана, Буля, Лёвенхейма, Сколема, Шрёдера); Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения совр. формальной логики, пер. с англ., М., 1959; Беркли Э., Символическая логика и разумные машины, М., 1961; Ackermann W., Solvable cases oi the decision problem, Amst., 1954, ch. 3–4.
С. Яновская. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.