КАНТОР Георг Фердинанд Людвиг Филипп

(3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле) — немецкий математик, создатель множеств теории. Учился в Высшей технической школе в Цюрихе, затем в Гёттингенском и Берлинском университетах. Был учеником К. Вейерштрасса, привившего ему интерес к основаниям математики. С 1879 по 1913 — профессор университета в Галле. Его теория знаменовала собой эпоху в легализации в математике актуальной бесконечности, что ранее вызывало возражения многих мыслителей, в т. ч. Аристотеля.

Основным достижением Кантора было создание им первой в истории науки осознанно выдвинутой программы возрождения единства математики, создание условий, при которых самые разнообразные по своему характеру разделы математики можно было бы строить по единому плану, на достаточно прочном «фундаменте». Таким фундаментом и должна была служить теория множеств (сам Кантор пользовался термином «учение о множествах», Mengenlehre). «Надстраивать» математику над этой теорией следовало так, чтобы все без исключения математические понятия определялись в ее терминах. В результате всякий математический объект в конечном счете оказывался множеством, удовлетворяющим некоторому условию. Что же касается аппарата логической дедукции, то в качестве него неизбежным по тому времени образом бралась традиционная аристотелевская логика с ее исключенного третьего законом, влекущим за собой рассуждения методом «от противного», а значит, и неконструктивное понимание экзистенциальных высказываний. Поначалу этой особенности программы Кантора не было придано должного внимания.

В современных терминах можно сказать, что Кантором была предложена теоретико-множественная модель самой математики. Его подход обеспечивал единообразие в структуре математических теорий, и сложившаяся ситуация воспринималась многими современными ему специалистами как «рай, созданный Кантором для математиков» (Д. Гильберт, доклад «О бесконечном»). Уже при жизни Кантора в разработку и реализацию его программы включился ряд крупнейших математиков того времени. В дальнейшем она сыграла в развитии математики, — несмотря на все впоследствии обнаружившиеся связанные с ней драматические трудности, — выдающуюся роль, которую продолжает играть (пусть, может быть, в несколько меньшем масштабе) и в наши дни, представляя собой важное методическое и эвристическое средство, удобное в педагогическом отношении, а также (как ориентир) и для построения теоретико-множественных моделей в других отраслях знания, лежащих за пределами математики (в кибернетике, лингвистике, биологии и т. п.).

И тем не менее, трудности, о которых было упомянуто выше, носили принципиальный характер. Исторически первой из них было обнаружение т. н. теоретико-множественных парадоксов. или антиномий, наиболее известным из которых стал «парадокс Рассела», обнаруженный в 1902 Б. Расселом и независимо от него Э. Цермело (см. Парадокс логический. Парадокс семантический). Гильберт вынужден был признать, что «опубликование противоречия, найденного Цермело и Расселом, оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое воздействие. [...] Перед лицом этих парадоксов надо согласиться, что положение, в котором мы пребываем сейчас, на длительное время невыносимо». В результате обсуждения парадоксов было осознано, что программа Кантора в чистом ее виде реализована быть не может.

В начале 20 в. с критикой программы Кантора выступил Л. Э. Я. Брауэр, предложивший альтернативную программу иятучционизма. Кроме того, рядом математиков (Цермело и особенно Гильбертом) были предприняты меры, направленные на устранение из теории множеств обнаруженных в ней парадоксов, во-первых, определенной регламентацией теории множеств и, во-вторых, последующей ее аксиоматизацией и доказательством непротиворечивости возникающей системы аксиом (в этом последнем, собственно, и состояла идея знаменитой доказательств теории Гильберта). К сожалению, все эти усилия до сих пор не дали положительных результатов: вопрос о непротиворечивости аксиоматической теории множеств остается открытым. Установление непротиворечивости этой теории повлекло бы за собой (наподобие тому, как это случилось с теоремой Геделя о неполноте арифметики) неполноту этой теории во многих важных ее пунктах (и по-видимому, более того — ее непополнимость).

Однако, может быть, главная из трудностей теории множеств состоит в том, что в ней отсутствует сколько-нибудь точное определение основного представления этой теории — представления о множестве. Оно иллюстрируется здесь лишь на примерах. И т. к. всякое математическое высказывание, сформулированное в рамках канторовской программы, в конечном счете оказывается высказыванием о множествах, то смысл этого высказывания остается неясным. В этом свете термин «теория множеств», получивший среди сторонников Кантора широкое распространение, не вполне правомерен, равно как и отнесение этой теории к числу математических дисциплин. Более оправданным представляется первоначальный термин самого Кантора — «учение о множествах». Это учение, несмотря на все его недостатки (и может быть, даже благодаря им) оказало сильное воздействие на развитие математики и ее оснований, а затем и более широкого комплекса наук нашего времени.

Соч.: Труды по теории множеств. М., 1985. Лит.: Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX в. М., 1965; Meschkowski H. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig, 1967.

H. M. Нагорный