ФИНИТИЗМ

— идущая т Д. Гильберта методологическая установка на сильные требования к осмысленности и к надежности математических суждений и рассуждений. В соответствии с этой установкой надежные рассуждения удовлетворяют следующим условиям (Ж. Эрбран): 1) всегда рассматривается лишь конечное и определенное число конкретно воспринимаемых предметов и функций; 2) функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений; 3) никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта; 4) никогда не рассматривается (как вполне определенное) множество всех предметов какой-либо бесконечной совокупности; если же говорится, что какое-то рассуждение (или суждение) верно для всех этих х, то это означает, что общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного х, причем само это общее рассуждение следует при этом рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждении.

Ограничения 1) и 4) мотивируют как само название «финитизм», так и соответствующее употребление эпитетов «финитный» (или «финитарный») для рассуждений, суждений, доказательств, высказываний, определений, понятий, методов и т. д. Финитная математика — это совокупность финитных математических рассуждений.

Осмысленные суждения, согласно рассматриваемой установке, это те и только те суждения, которые могут быть доказаны или опровергнуты финитными рассуждениями. Осмысленные математические суждения называются «реальными» суждениями (предложениями, высказываниями), остальные — «идеальными».

Это несколько расплывчатое описание финитизма поддается и подвергается должным уточнениям в конкретных контекстах. Финитизм возник в рамках т. н. программы Гильберта — исходного пункта направления в основаниях математики, известного как формализм. Гильберт предназначал свою программу для «реабилитации» математики в связи с интуиционистской критикой (см. Интуиционизм). Он предпринял попытку обосновать математику на базе эпистемологически прочного фундамента финитизма. Гильберт соглашался с интуиционистами, что не все утверждения абстрактной математики имеют смысл, более того — его критерии осмысленности математических высказываний еще ограничительное интуиционистских (интуиционисты считают чрезмерно ограничительным в финитизме условие 1), т. к. допускают рассуждения о некоторых абстрактных предметах вроде «свободно становящихся последователей»). Однако Гильберт не заключает из этого, что следует запретить некоторые укоренившиеся приемы доказательств и тем самым деформировать, как настаивали интуиционисты, математическую практику. Он резонно полагал, что в принципе допустимо (а в целях экономии сил даже и нужно) пользоваться сомнительными, с точки зрения интуиционистов, принципами доказательств, если предварительно будет установлено — и установлено уже совершеннонесомненными (т. е. финитными) рассуждениями, —-что при использовании этихдоказательств не может быть получено среди осмысленных (т. е. реальных) утверждений такого, которое оказалось бы ложным. Что касается идеальных предложений, то им не обязательно приписывать определенные истинностные значения, так как они, строго говоря, финитно неосмысляемы и поэтому выполняют в математике не познавательные, а, так сказать, «административные» функции. Они всего лишь инструменты, предназначенные для удобного манипулирования реальными высказываниями. Короче говоря, замысел программы Гильберта — несомненными рассуждениями доказать, что обычная математика есть консервативное расширение финитной математики. Т. о., есть тесная аналогия между этим замыслом и неопозитивистскими попытками анализировать физические теории в терминах «наблюдаемых» и «теоретических конструктов»: реальные высказывания суть аналоги «наблюдаемых», идеальные — «теоретических конструктов».

Но как убедиться, что некоторая математическая система S не содержит среди своих реальных теорем ни одной ложной? Оказывается, что при некоторых дополнительных разумных предположениях эта проблема эквивалентна проблеме финитного установления непротиворечивости системы S. В свою очередь можно пытаться финитно установить непротиворечивость S, предварительно заменив систему S ее формальным аналогом и пытаясь финитно установить теперь уже синтаксическое свойство системы S—ее формальную непротиворечивость. Финитные рассуждения, предназначаемые для осуществления этой работы, Гильберт обозначал словом «метаматематика».

Становление и расцвет программы Гильберта занял 1-ю треть 20-го столетия. Но в 1931 Гёдель своей второй теоремой о неполноте обнаружил, что некоторые — просто находимые и естественные (в точно определенном смысле) — формальные выражения непротиворечивости любой системы S, содержащей арифметику, являются предложениями, не разрешимыми в S, если S действительно непротиворечива (точнее — со-непротиворечива). Эта теорема была почти сразу истолкована как смертельный удар по программе Гильберта, и это критическое истолкование прочно утвердилось в литературе. Суть его ясно выражают, напр., Френкель и Бар-Хиллел, усматривая следствие теоремы Гёделя в том, что «никакое предложение, которое можно точным образом интерпретировать как выражающее непротиворечивость какой-либо логистической системы, содержащей арифметику, не может быть доказано в этой системе» (Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 370). Стало быть, обосновать математику в рамках финитизма принципиально невозможно. На таком фоне должны были возникнуть и действительно возникли различные модификации программы Гильберта, знаменующие собою различные ослабления первоначальной установки жесткого финитизма.

Однако нужно заметить, что связь между программой Гильберта и второй теоремой Гёделя о неполноте не так проста, как это общепринято считать. Вышеприведенная цитата искажает подлинное положение дел. Гёдель показал только, что лишь некоторые формальные предложения, которые интерпретируются как выражения непротиворечивости S, нельзя доказать в S. Он не доказал, что каждый возможный кандидат на роль формального аналога выражения непротиворечивости S обязательно недоказуем в S. Поэтому, строго говоря, теорема Гёделя не доказывает несостоятельность финитизма как фундамента для обоснования математики в рамках программы Гильберта. Ктомуже возможны модификации программы Гильберта, связанные не с ослаблением первоначального финитизма, а просто с другим способом его употребления. Более того, рассматриваются и развиваются подходы к основаниям математики, ориентированные на усиление финитизма. Т. о., пока судьба финитизма складывается драматически, но отнюдь не трашчески.

К. Ф. Самохвалов, В. X. Хананян