философия математики

философия математики
        ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ — отрасль философии науки, исследующая природу математических объектов и способы математических доказательств. Абстрактный характер объектов и особая убедительность доказательств математики еще в античную эпоху привлекли внимание философов к анализу специфики ее предмета и метода исследования. Как самостоятельная отрасль Ф. м. сформировалась в начале 20 в., когда возникли парадоксы в теории бесконечных множеств Г. Кантора, приведшие к кризису оснований математики. В поисках выхода из этого кризиса были выдвинуты три основные программы обоснования математики: логицизм, формализм и интуиционизм. Логицизм, во главе с Б. Расселом, стремился свести классическую математику к логике; формалисты, возглавляемые Д. Гильбертом, — представить ее в виде формальной системы и затем доказать ее непротиворечивость; интуиционисты, объединившиеся вокруГл.Э.Я. Брауэра, отвергли абстракцию актуальной бесконечности, на которой основывается теория множеств Г. Кантора. Наряду с новыми математическими принципами обоснования математики, эти программы опирались также на определенные философские установки. Сторонники логицизма придерживались широко распространенной среди работающих математиков позиции платонизма, согласно которой математические объекты являются независимыми от субъекта, вечными, неизменными сущностями, наподобие идей Платона. Такая точка зрения может объяснить, почему математика независима от опыта, а ее истины не нуждаются в эмпирическом доказательстве. Но ни платонизм, ни позднее возникший математический реализм не могут ответить на вопрос, почему математические теории и методы находят применение в естествознании и др. конкретных науках.
        Идеи математического реализма достигли своей кульминации в программе теоретико-множественного обоснования математики. Вместо потенциальной, или становящейся, бесконечности она вводит абстракцию актуальной бесконечности, заданной одновременно всеми своими элементами, а не возникающей шаг за шагом, как в потенциальной бесконечности. Онтологически актуальная бесконечность, по мнению Кантора, реализуется «в высочайшем совершенстве, в совершенно независимом, внемировом бытии, in Deo (в Боге. — ПР.), где я называю его абсолютно-бесконечным или просто абсолютным». Несмотря на идеалистические и даже теологические взгляды Кантора, его теория множества получила широкое признание у математиков. Сам Кантор и его последователи надеялись, что теория множеств приведет к окончательному обоснованию всей классической математики. Не только логицисты, но и сторонники формализма считали, что онтологические принципы теории множеств не нуждаются в реформировании. Гильберт в связи с этим заявил: «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором».
        Против концепции математического реализма выступили сторонники математического интуиционизма, которые отказались от абстракции актуальной бесконечности и применения к бесконечным множествам законов классической логики. Они справедливо считают, что эти законы были установлены путем изучения конечных множеств объектов, но затем их необоснованно экстраполировали на бесконечные множества. Особой критике подвергается при этом закон исключенного третьего, потому что на нем основываются так называемые чистые доказательства существования, когда существование объекта доказывается именно на применении этого закона. В отличие от классической математики, интуиционисты требуют, чтобы доказательство было действительно проведено на деле, а искомый объект построен или вычислен. Для защиты своей позиции они обращаются к интуиционистской Ф. м. И. Канта, согласно которому общезначимый и необходимый характер математических суждений основывается на априорных формах сознания, изначально присущих человеку. Арифметика опирается на априорную интуицию времени, а геометрия — на априорную интуицию пространства. В связи с открытием неевклидовых геометрий Л.Э. Я. Брауэр отказался от априорной интуиции пространства Канта, но сохранил его интуицию времени, чтобы модернизировать интуиционистскую Ф. м. «Главным в математической деятельности, — утверждал он, — являются умственные построения, осуществляемые на основе непосредственной интуиции, а не язык или логика, посредством которых выражаются результаты этой деятельности». По его мнению, теоремы в математике выводятся исключительно посредством интроспективной интуиции, которая убеждает гораздо сильнее, чем любая логическая аргументация. Однако многие математики не разделяют такое мнение, справедливо считая, что интуиция представляет собой, в лучшем случае, предположение или догадку, которые нуждаются в дальнейшей проверке, не говоря уже о том, что она имеет субъективный характер и меняется от одного лица к др.
        К 1960-м стало ясно, что цели, провозглашенные логицизмом, формализмом и интуиционизмом, не были достигнуты, хотя в результате их исследований было получены важные новые результаты в математической логике и основаниях математики. Но эти результаты имеют, скорее, технический, логико-математический характер, чем философский. Поэтому в последние десятилетия были предприняты новые исследования, раскрывающие др. аспекты математического познания. К ним следует отнести, прежде всего, такие направления, как конструктивизм, структурализм в математике и современный реализм.
        На развитие конструктивного направления несомненное влияние оказали математические идеи интуиционизма, однако конструктивисты опираются на более четкие определения своих объектов и операций, а также на точное определение понятия алгоритма, служащего основой для построения конструктивной математики. Выдающийся вклад в развитие этой математики внесла отечественная школа ученых во главе с А.А. Марковым. В противовес интуиционистам, они подчеркивают связь математики с конструктивной деятельностью как в самом математическом творчестве, так и во взаимодействии с естествознанием и др. науками. Вместе с тем они подвергли критике субъективистские взгляды на природу математических объектов и интуицию как на единственно надежный источник их познания.
        Структурализм опирается на идеи аксиоматического представления математического знания, а также на ее формализацию, разработанную в школе Д. Гильберта. Аксиоматический подход настойчиво пропагандировался, начиная с 1939, влиятельной группой, состоящей в основном из франц. математиков, выступающих под псевдонимом мифического математика Н. Бурбаки. Они поставили перед собой амбициозную цель: изложить важнейшие математические дисциплины с помощью аксиоматического метода и, таким образом, представить все существующее математическое знание в виде грандиозной аксиоматической структуры. «В своей аксиоматической форме, — заявляет Н. Бурбаки, — математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм». Такая точка зрения встречается не только среди представителей школы Н. Бурбаки и др. математиков, но и среди известных ученых. Об этом свидетельствует, в частности, высказывание видного амер. физика Е. Вигнера, который говорит о «непостижимой эффективности математики». Школа Н. Бурбаки, хотя и признает связь математики с действительностью, но не занимается философским ее анализом. Современный структурализм, как и Н. Бурбаки, считает наиболее фундаментальным в математике понятие структуры, а не абстрактного объекта и даже множества, которое оказывается частным случаем структуры. С этой точки зрения, П. Бенацерафф, напр., выступает против представления чисел множествами или абстрактными объектами, рассматривая их как знаки (цифры) в определенной знаковой структуре. Остается, однако, онтологический вопрос: является ли понятие структуры более простым и удобным, чем абстрактный объект? Не ведет ли это к отождествлению математического знания с эмпирическим? Убедительного ответа на него современные структуралисты не дают.
        Современный реализм, в отличие от таких своих предшественников, как Дж.С. Милль, не отождествляет математическое познание с естественнонаучным. Однако новые тенденции в современной философии математики подчеркивают поворот математики к практике, который выражается в использовании компьютеров в доказательствах, в числовом экспериментировании, в признании различных версий доказательств и т.п. В связи с этим происходит постепенный отказ от прежних чрезмерно абстрактных концепций математики и критериев строгости ее доказательств, значительную роль в ней начинают играть конструктивные и вычислительные методы. Все это обусловило возрождение интереса к эпистемологическим проблемам математики. Математическое познание стало рассматриваться как специфический, но связанный с общенаучным, процесс развития мышления, в ходе которого допускаются и преодолеваются ошибки, а полученные результаты находят применение в естественных, технических и социальных науках.
        Г.И. Рузавин
        Лит.: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1965; Клайн М. Математика: утрата определенности. М., 1984; Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгоритмов. М., 1984; Рассел Б. Введение в математическую философию. М., 1996; Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983; Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск, 2002.

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация». И.Т. Касавин. 2009.