ПОЛНОТА

в логике и дедуктивных нау­ках, свойство аксиоматич. теории, характеризующее достаточность для к.-л. определ. целей её выразит. и дедуктивных средств. Аксиоматич. система наз. де­дуктивно полной по отношению к данной интерпрета­ции, если все её формулы, истинные при данной интер­претации, доказуемы в ней. Такое понятие П. связано с понятием истинности и носит семантич. (содержат.) характер. Понятие П. в узком смысле носит синтаксич. (формальный) характер и определяется как невозмож­ность присоединения к системе без противоречия ника­кой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы.

В 1931 К. Гёдель установил принципиальную не­полноту достаточно богатых аксиоматич. теорий (вклю­чающих формальную арифметику натуральных чисел и аксиоматич. теорию множеств), т. е. наличие таких формул, к-рые в их рамках недоказуемы и неопроверга­емы. Это открытие привело к осознанию принципиаль­ной ограниченности роли аксиоматич.метода в математич. логике и стимулировало поиски новых логико-математич. теорий. См. ст. Доказательство и лит. к ней.