АЛГЕБРА БУЛЯ

- исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления. 

Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов AA.B; умножение классов ААВ; дополнение класса А&. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами:

la. Al(B(C)=(ACB) BC - ассоциативность сложения;

16. A1(B(C)= (ACВ) ВC - ассоциативность умножения;

2a.A2B= BBA - коммуникативность сложения;

2б.А2В =ВВА - коммуникативность умножения;

3a.A3(В(С)= =(AСB) B(A(C) - дистрибутивность сложения относительно умножения;

36.A3(B(C)==(ACB) B(A(C) - дистрибутивность умножения относительно сложения.

В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми

подчиняются следующим соотношениям:

AA0=A;

AA1=A;

AAA&=1;

AAA&=0.

Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А равна А: А А=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: ААА=А, а не A2.

Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения й на и на , 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.

А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу "да - нет", при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.