Многомерное шкалирование (multidimensional scaling)

Под М. ш. в большинстве случаев понимается семейство моделей и связанных с ними методов для представления данных о сходствах или различиях стимульных объектов либо др. элементов на основе заданной пространственной модели. По существу, целью М.ш. в более узком смысле является упрощение большой и сложной совокупности наблюдений посредством построения пространственного представления, которое позволит увидеть отношения между стимулами. Предполагается, что в такой пространственной модели величины близостей (сходств, различий, индексов совместной встречаемости или других мер тесноты или близости) соотносятся простым и прямым способом с расстояниями между попарно сравниваемыми стимулами. Разумеется, когда речь идет о реальных данных, при получении к-рых неизбежны ошибки и искажения, точного соотношения достичь невозможно.

Один пример, часто используемый для иллюстрации М. ш., меняет общепринятый процесс считывания расстояний с карты городов на противоположный, чтобы получилась задача восстановления этой карты на основе знания одних только расстояний между городами. В действительности, в некоторых разновидностях М. ш. — процедурах неметрического М. ш. — достаточно знать только ранговый порядок расстояний между городами, чтобы восстановить их карту.

Вращение координатных осей, упоминаемое здесь мельком, на самом деле вовсе не тривиальный вопрос в М. ш., имеющий, к тому же, большое значение для его практических приложений. Цель М. ш. — не просто построить пространственную карту или репрезентацию стимулов, но еще и интерпретировать ее исходя из значащих психол. (или других) измерений.

Эти измерения соответствуют координатным осям такой карты. В психол. приложениях М. ш. одни системы координат соответствуют «естественным» или легко интерпретируемым измерениям, тогда как другие с трудом поддаются интерпретации. Конкретная система координат, задаваемая машинной программой М. ш., может быть совершенно произвольной и требовать процедуры вращения для достижения приемлемой интерпретируемости результатов. Модели индивидуальных различий, к-рые мы рассматриваем несколько позже как «трехмерные» модели М. ш., и в особенности метод INDSCAL, могут помочь в решении этой проблемы вращения.

Обратимся сначала к моделям и методам М. ш. для однотипных (напр., стимулы) двумерных (напр., парные сравнения) данных о близости. Эти данные могут иметь источником непосредственные суждения людей о сходстве или различии, а также получаться из др. данных, таких как смешиваемость пар стимулов или разнообразные типы производных мер сходства либо различия (например, мера «расхождения профилей», вычисляемая между стимулами по оценочным шкалам, или различные меры сходства, выводимые из материалов ассоциативных экспериментов). В некоторых случаях, в качестве мер сходства (переменных, людей, стимулов или др. элементов) используются корреляционные матрицы, так что М. ш., при таком его применении, можно рассматривать как альтернативный факторному анализу метод получения многомерной структуры из корреляционных данных.

После того как близости определены, их можно представить в виде квадратной таблицы с двумя входами (матрицы). Эта таблица обычно (хотя и не всегда) бывает симметричной.

Часто важно разграничивать метрические и неметрические подходы к М. ш. В метрическом М. ш. предполагается, что близости измеряются, по меньшей мере, в интервальной шкале. В неметрическом М. ш. от функции близости обычно требуется лишь быть монотонной, или сохраняющей порядок. Т. о. неметрическое шкалирование допускает близости, измеренные в порядковой шкале.

Многомерное шкалирование индивидуальных различий

Первой моделью М. ш. индивидуальных различий была модель «точек зрения», предложенная Такером и Мессиком. Вскоре появился подход, названный INDSCAL (INdividual Differences multidimensional SCALing), к-рый в настоящее время стал господствующим. INDSCAL объясняет индивидуальные различия в данных о близости на основе модели, к-рая предполагает общий, базисный набор измерений для стимулов (или др. объектов), но в то же время допускает, что разные субъекты (или др. источники информ.) имеют различные паттерны выделенности этих общих измерений или, говоря иначе, придают разную значимость (отражаемую в весовых коэффициентах) этим измерениям. Полагая теперь, что «трехмерные» данные о близости соответствуют суждениям разных людей о сходстве, эта модель приводит к довольно правдоподобному допущению, что каждый субъект просто обладает различным набором масштабных коэффициентов (к-рые можно представить себе в виде коэффициентов усиления или ослабления сигнала), применяемых к набору «базисных» психол. измерений стимула, общих для всех людей. Иначе говоря, дело обстоит так, как если бы у любого чел. была система «регуляторов усиления», по одному на каждое базисное измерение стимула, выставленных в разное положение у каждого из них. Эти различные настройки могут быть обусловлены генетическими различиями либо средовыми факторами, действие к-рых скорректировано разным жизненным опытом, или, вероятнее всего, взаимодействием природы (наследственности) и воспитания (среды).

Сильная сторона этой модели для индивидуальных различий в восприятии заключается в том, что предполагаемые для стимулов психол. измерения однозначно определяются суждениями субъектов о сходствах (на основе паттернов индивидуальных различий в суждениях о сходствах). Другое, не менее важное преимущество этой модели в том, что выделенности, или веса перцептивных измерений могут служить весьма полезными мерами индивидуальных различий субъектов восприятия.

Данные для М.ш. индивидуальных различий, как правило, представляют собой множество симметричных матриц близостей, по одной для каждого субъекта (или др. источника данных). Такие данные обычно имеют двухмодальную (стимулы и субъекты), но трехмерную (стимулы х стимулы х субъекты) организацию. «Модальность», или, проще, тип, — специфическое множество элементов (напр., стимульная модальность, или множество стимулов). Число размерностей или «сторон» можно представить себе как число «направлений» в таблице данных (например, строки, столбцы и «слои» для «трехмерной» таблицы, хотя строки и столбцы могут соответствовать стимульной модальности, тогда как «слои» соответствуют модальности субъектов). Назначение анализа INDSCAL, при условии трехмерных данных о близости, — найти одновременно два решения: одно — для координат пространства стимулов, другое — для субъективных весов, с тем чтобы оптимизировать соответствие модели INDSCAL (преобразованным) данным о близости.

Метод INDSCAL предполагает метрические допущения и своего рода трехмерное обобщение «классического» метода двумерного М.ш. Наиболее эффективный подход к реализации этого анализа обеспечивает программа SINDSCAL, предложенная Пружански.

Среди этих альтернативных моделей и методов особый интерес представляет подход, предложенный Такером и обычно называемый трехмодальным шкалированием, — адаптация разработанной Такером трехмодальной модели факторного анализа и метода для случая трехмерных данных о близости.

Широкое определение многомерного шкалирования

При самом широком определении М. ш. включает в себя множество разнообразных геометрических моделей для представления данных психологии или др. поведенческих наук. В это множество могут входить дискретные геометрические модели, такие как древовидные структуры (обычно связанные с иерархической кластеризацией), структуры пересекающихся либо непересекающихся кластеров или др. сетевые модели. Однако для М. ш. более типична связь с континуальными пространственными моделями представления данных. При широком определении М. ш. такие пространственные модели могут включать — в добавление к рассмотренной выше дистанциометрической модели для данных о близости — другие геометрические структуры, такие как векторная модель или модель развертывания для представления индивидуальных различий в данных о предпочтении (или др. преобладании), и даже модель факторного анализа.

См. также Индивидуальные различия, Методы многомерного анализа, Статистика в психологии

Дж. Д. Кэрролл