Факторные планы (factorial designs)

Факторным наз. такой план, согласно к-рому одновременно изучается влияние на зависимую переменную двух или более факторов. Т. к. несколько факторов рассматриваются в рамках одного плана, то в добавление к возможности оценить их воздействие на зависимую переменную по отдельности (главные эффекты) появляется возможность измерить эффекты их совместного влияния на эту переменную (взаимодействия).

Однофакторные планы. Чтобы было легче понять данное выше определение, обсудим сначала план, к-рый не яв-ся собственно факторным, а именно однофакторный план. Предположим, исследователь хочет оценить влияние утомления на успешность выполнения определенного теста, используя при этом три группы испытуемых: с низким, средним и высоким уровнем утомления. Т. к. уровень утомления яв-ся управляемой или, по крайней мере, контролируемой исследователем переменной, то его называют независимой переменной или фактором данного плана. Применительно к нашему примеру можно сказать, что фактор утомления имеет три уровня, по одному на каждую группу, представленную в плане. В более общем случае единственный фактор в таком плане обозначают буквой А, а его уровни — той же буквой с соответствующими цифровыми индексами: A1, А2, и А3 (рис. 1).

Рис. 1. Однофакторный план с тремя уровнями

Успешность выполнения теста измеряется у каждого испытуемого и наз. зависимой переменной. Обычно цель такого исслед. — установить, будет ли зависимая переменная вести себя как функция фактора А. Если различия в успешности выполнения теста между уровнями фактора А будут больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайной изменчивости, то мы можем утверждать, что эффект фактора А оказался статистически значимым. Статистическим методом для проверки общей гипотезы о значимости эффекта фактора яв-ся дисперсионный анализ. Существуют и методы для проверки более частных гипотез (напр., существует ли статистически значимое различие между успешностью выполнения теста на уровнях А3 и A1 или, еще, отличается ли статистически значимо успешность выполнения теста на уровне A3 от успешности, усредненной по уровням А1 и А2).

Двухфакторные планы. В факторных планах используется более одного фактора. Мы можем переделать наш однофакторный план в настоящий факторный план, добавив еще один фактор. Предположим, что наряду с фактором утомления у нас имеется второй фактор — сложность теста — с двумя уровнями: простой и сложный тест. Говоря в общем, чтобы сделать план таким, как он изображен на рис. 2, к исходному плану был добавлен второй фактор Б с уровнями Б1 и Б2.

Рис. 2. Факторный план 3x2

Такой план, к-рый обычно называют факторным планом 3x2 (поскольку первый фактор имеет три уровня, а второй — два), позволяет изучить эффекты утомления и сложности теста по отдельности и к тому же их совместные или комбинированные эффекты. В плане 3x2 имеется 6 (три на две) групп, по одной на каждую комбинацию уровней. Каждая группа представлена одной ячейкой плана на рис. 2. Напр., одна группа в состоянии слабого утомления будет работать с легким тестом; др. группа будет работать с тем же легким тестом, находясь в состоянии сильного утомления, и т. д.

В целях достижения большей ясности на этом этапе обсуждения можно воспользоваться идеализированным числовым примером. Для этого нам нужно допустить, что: а) каждая группа (ячейка плана) содержит одинаковое число испытуемых и что б) эффекты случайной изменчивости или ошибка измерения сведены к нулю, и потому любые полученные между группами различия обусловлены фактическим воздействием факторов.

На рис. 3 число в каждой ячейке плана показывает среднюю тестовую оценку для испытуемых при соответствующем эксперим. условии. Напр., у испытуемых, выполняющих сложный тест в состоянии среднего утомления, средняя тестовая оценка равна 50, тогда средняя тестовая оценка испытуемых, выполняющих простой тест в состоянии слабого утомления, равна 80. Числа за границами таблицы (наз. маргиналами из-за своего расположения на краях) представляют собой средние тестовые оценки, вычисленные отдельно по каждому уровню факторов А и Б.

Рис. 3. Факторный план 3x2 без взаимодействия

Главные эффекты. Говорят, что фактор А имеет главный эффект, если средние значения зависимой переменной изменяются при переходе от одного его уровня к др. В нашем примере имеет место главный эффект сложности теста (фактора Б), т. к. средняя оценка успешности при условии выполнения простого теста (70) отличается от таковой при условии выполнения сложного теста (50). Наблюдается и главный эффект утомления (фактора А), поскольку средние оценки успешности при условии слабого, среднего и сильного утомления — 70, 60 и 50 соответственно — неодинаковы (рис. 4).

Рис. 4. Информация о главных эффектах, которую можно получить из рис. 3

Взаимодействия. Вполне вероятно, что эти факторы обнаружат совместные эффекты в добавление к их главным эффектам. Такие совместные эффекты наз. взаимодействиями. Говорят, что взаимодействие между факторами А и Б имеет место тогда, когда эффект действия одного фактора неодинаков на каждом уровне другого фактора. На рис. 3 главный эффект сложности теста равен 20 пунктам шкалы. Взаимодействие между сложностью теста (фактором Б) и утомлением (фактором А) отсутствует, т.к. эффект фактора Б составляет 20 пунктов на каждом уровне фактора А. В данном случае обычно говорят, что факторы А и Б аддитивны, потому что разность между средними оценками групп А1Б1 и А2Б2 (80 - 50 = 30) может быть получена сложением разности между А1 и А2 (10) с разностью между Б1 и Б2 (20). Это имеет силу для всех комбинаций А и Б при отсутствии взаимодействия А x Б.

На рис. 5 главные эффекты факторов А и Б совершенно те же, что и на рис. 3, но при этом фактор Б имеет разные эффекты на разных уровнях фактора А. Сложность теста создает разницу всего в 10 пунктов шкалы для группы в состоянии слабого утомления, тогда как для групп в состоянии среднего и сильного утомления она составляет 20 и 30 пунктов соответственно. Можно также увидеть, что уровень утомления создает меньшую разницу в средних оценках по простому тесту, чем по сложному. Наконец, можно заметить, что здесь не выполняется условие полной аддитивности: разность между средними оценками ячеек A1Б1 (75) и А2Б2 (50) не может быть получена сложением разностей между средними оценками A1 и А2 (10) и средними оценками Б1 и Б2 (20). В данном случае мы могли бы говорить о наличии взаимодействия А х Б, или взаимодействия между факторами утомления и сложности теста.

Рис. 5. Факторный план 3 х 2 с взаимодействием

Взаимодействия и главные эффекты логически независимы. Рассмотрим в качестве примера несколько отличающийся от предыдущего двухфакторный план, изображенный на рис. 6, где фактор А — тревожность испытуемого (с двумя уровнями — высокая и низкая), а фактор Б — сложность теста (также с двумя уровнями — простой и сложный тест).

Рис. 6. Факторный план 2 х 2 с взаимодействием

В данном случае существует очень сильное взаимодействие между тревожностью испытуемых и сложностью теста. Фактор сложности создает среднюю разность в успешности выполнения теста, равную 10 пунктам шкалы для группы с низкой тревожностью и 50 пунктам для группы с высокой тревожностью. С легким тестом группа с высокой тревожностью на самом деле справляется лучше, чем группа с низкой тревожностью, хотя повышенная тревожность препятствует выполнению сложного теста. В этом примере имеет место главный эффект сложности теста, т. к. средняя оценка для простого теста на 30 пунктов шкалы превышает среднюю оценку для сложного теста. Такой главный эффект легко интерпретировать, поскольку возросшая трудность теста препятствует его успешному выполнению как при низкой, так и при высокой тревожности. Др. общий эффект — главный эффект тревожности, но его следует интерпретировать с большой осторожностью. Хотя низкая тревожность, при усреднении рез-тов по обоим уровням сложности теста, и приводит к более высоким тестовым оценкам, она в то же время имеет следствием снижение успешности при выполнении легкого теста.

Мы получаем ряд преимуществ, когда рассматриваем одновременно действие нескольких факторов в рамках одного плана вместо того, чтобы изучать действие этих факторов по отдельности в серии однофакторных исслед. Главное преимущество заключается в возможности изучения взаимодействий между факторами, что неосуществимо при использовании однофакторных планов. Кроме того, факторные планы позволяют дать более адекватную интерпретацию главным эффектам. Так, при усреднении рез-тов по обоим уровням сложности теста низкая тревожность действительно дает более высокие тестовые оценки, чем высокая тревожность, однако этого не наблюдается в условиях выполнения простого теста.

Хотя число факторов в наших примерах ограничено двумя, в принципе допустимо строить планы с любым их количеством. Для каждого фактора в плане можно определить наличие или отсутствие главного эффекта. Для каждой пары факторов (А и Б) можно, кроме того, установить, имеет ли место взаимодействие А х Б. Взаимодействие между двумя переменными называют взаимодействием первого порядка. Взаимодействия более высокого порядка затрагивают более двух факторов. Напр., если план включает три фактора — А, Б и В, то взаимодействие А х Б х В будет иметь место в том случае, если взаимодействие А х Б неодинаково на разных уровнях фактора В (либо, что то же самое, если взаимодействие А х В неодинаково на разных уровнях фактора Б или если взаимодействие Б х В неодинаково на разных уровнях фактора А). Как правило, крайне сложно интерпретировать взаимодействия, включающие более двух или трех факторов.

Интра- и интериндивидные факторы. При работе с факторными планами необходимо различать факторы, к-рые предполагают проведение повторных измерений на одних и тех же испытуемых, и факторы, при изучении к-рых повторные измерения не используются. Если оценку получают для каждого испытуемого на каждом уровне фактора А, то такой фактор называют интраиндивидным. Если же каждый испытуемый получает оценку только на каком-то одном уровне фактора А, то тогда этот фактор называют интериндивидным. Очевидно, что нек-рые факторы (напр., пол) яв-ся интраиндивидными по природе. Однако при планировании мн. исслед. ученый имеет возможность выбирать, будет ли он рассматривать тот или иной конкретный фактор как интраиндивидный или интериндивидный, и часто использование интраиндивидных факторов приводит к повышеннию эффективности работы.

В общем, интерпретация главного эффекта и взаимодействий остается одинаковой как для интраиндивидных, так и для интериндивидных факторов. Тем не менее необходимые для статистического анализа допущения, равно как и детали самого статистического анализа, действительно различаются в зависимости от того, все ли факторы, включенные в план, яв-ся интериндивидными или интраиндивидными или же представляют собой смесь тех и др. В всех случаях статистический анализ можно рассматривать как вспомогательное средство, облегчающее принятие решения о том, яв-ся ли данный эффект (главный эффект или взаимодействие) «реально существующим» или он появился только благодаря случайной изменчивости и нет никакой уверенности в том, что его удастся воспроизвести при повторении опыта.

См. также Экспериментальные планы, Методология (научных) исследований, Статистика в психологии

А. Д. Велл