Алексеев А. В. Воля к превосходству.

Рассуждение теоремы Геделя напоминает следующее: если я конечными шагами захочу пройти бесконечность, то у меня ничего не выйдет, ибо бесконечность не достижима. И это есть чисто техническое, строящееся на зацикливании алгоритмов, а не качественное, рассуждение. Если же, к примеру, бесконечность взаимно однозначно отразить на отрезок конечной длины (в этом качество рассуждения), то этот отрезок уже можно преодолеть за один шаг.
В тот момент, когда мы формулируем какое-то утверждение, одновременно с ним возникает истинность или ложность его; в этот момент верно одно из двух: либо «Да», либо «Нет», и это полностью определено в силу принципа определенности. Когда утверждение формулируется, то оно становится явленным, поскольку оно явлено, то оно есть как-то — как-то по отношению ко всей математике и это как-то определяется Логосом. Так, например, когда мы формулируем теорему Ферма, то ее истинность или ложность возникает за конечный момент времени, пока мы проговариваем утверждение этой теоремы. За этот отрезок времени Логос «пронзает» и высвечивает истину — истина рождается за конечный момент времени, но она нам просто не доступна, ибо мы не ведаем пути Логоса, но этот путь конечен во времени. Действительно, если бы он был не конечным, то не возникало бы определенности относительно истинности или ложности утверждения теоремы Ферма, но в силу определенности, царящей в мире, обязательно верно одно из двух: либо «Да», либо «Нет», в этом состоит определенность (здесь в рамках математики). Таким образом, существует конечный путь к математической истине, ибо она рождается за конечное время. И это возможно не благодаря бесконечному перебору, в который мог бы впасть Логос, так и не достигая истины, а именно качественному скачку в математических рассуждениях.
Отметим, что утверждение, которое претендует на роль аксиомы необходимо должно обладать непосредственной данностью и очевидностью; оно должно быть априори. Аксиома есть наипростейший исходный пункт, данность которого выставлена вовне и светится своей истинностью, хотя и относительной; ибо даже логики существуют разные. В этом отношении достаточно поучительной является геометрия Лобачевского, где Лобачевский заменил одну из фундаментальных аксиом о единственности прямой, проходящей через точку не лежащую на заданной прямой и не пересекающей данную прямую. И что в результате? Он получил непротиворечивую геометрию, но в которой уже нет прямых в обычном непосредственном восприятии; в лучшем случае в геометрии Лобачевского прямые — это дуги или хорды. Таким образом, геометрия Лобачевского есть искаженное отражение действительности; она есть не что иное, как искривленное зеркало, в которое мы пытаемся взглянуть на мир, в чем, кстати сказать, и состоит ее особое значение. Но геометрия Евклида есть ровное, гладенькое зеркало, где присутствуют обычные прямые и где существует единственная параллельная прямая. Здесь мы видим, что определенность аксиомы, будучи отрицаема в своей истинности приводит к непротиворечивой математики (ибо аксиомы не связаны друг с другом). Но искривленное зеркало геометрии Лобачевского воочию показала относительность математики; ибо в условиях геометрии Лобачевского, на тех объектах и отношениях между ними, которые рассматривал он, аксиома о параллельности не выполнена. Примечательно то, что геометрия Лобачевского нашла связь с теорией относительности Эйнштейна. А именно, сложение отрезков в геометрии Лобачевского есть сложение скоростей в теории относительности Эйнштейна. И если мыслить себе вселенную однородной (что условно, и есть своего рода предел (как и скорость света) рассмотрения вселенной с макрокосмического уровня), то пространство имеет геометрию Лобачевского. Удивительный факт: геометрия Лобачевского показывает относительность математики и связана с теорией относительности Эйнштейна!
Далее, если мы на мгновение поверим в теорему Геделя о неполноте аксиоматики теории чисел, где, кстати сказать, аксиомы обладают той непосредственной наивностью, с которой трудно не согласиться, не исказив восприятие мира, то тогда нам придется признать, что существуют утверждения в математике, которые не лежат в сфере логического вывода. Но мы их не можем принять за аксиомы, ибо они не обладают той непосредственной очевидностью, которую мы можем принять на веру (кстати сказать, вопрос о непротиворечивости математики есть вопрос веры, и вопрос о верности аксиомы есть вопрос веры в ее истинность). Таким образом, нам придется признать существование «темных лошадок», «таинственных звезд» — математических утверждений, которые мы не можем принять за аксиомы, и которые лежат вне сферы логического вывода (это странно, ибо математические утверждения формулируются в рамках логики и на математических объектах), но которые, тем не менее, обладают не отрицаемой истинностью (в силу определенности их бытия) и остаются для нас загадками. Ну а тогда нам придется признать печальную истину о непознаваемости мира даже в сфере рационального вывода, где царят только «да» или «нет». (Бедняжка Математика, тогда ты обречена быть загадкой для самой себя!)
В качестве иллюстрации теоремы Геделя часто приводится следующий пример: существует ли множество, мощность которого меньше мощности континуума (количество чисел на интервале от ноля до единицы), но больше мощности множества натуральных чисел (счетного, которое можно пересчитать). На этот вопрос до сих пор не удается получить какого-либо ответа. Но отметим, что это вопрос о существовании. Здесь дело обстоит сложнее. Есть два пути доказательства существования. Первый состоит в непосредственном предъявлении объекта, то есть конструктивный путь; второй состоит в рассуждении от противного: предположим, что такого объекта нет, или он есть, и найдем противоречие, то есть, мы заранее предполагаем необходимость существования этого объекта или отвергаем ее. Но в нашем случае не удается построить или найти в математике объект с необходимой мощностью, что говорит о том, что он в принципе и не нужен; он не возникает в математике естественно и необходимо; в противовес чему множество вещественных чисел, как и множество натуральных чисел, являются необходимыми объектами математики. Далее, если предположить существование множества с необходимой мощностью, то не удается получить противоречия, что говорит о том, что такой объект в принципе возможен. Если бы противоречие было найдено, то это отрицало бы существование искомого объекта. Таким образом, суммируя, можно сказать, что на данном этапе развития математики искомой объект не является необходимым. Нельзя сказать, что он принципиально невозможен, но и нельзя его предъявить. И если принять во внимание, что математические объекты необходимо рождаются в математике, то неявленность данного объекта говорит о сомнительности его существования, а точнее о его необязательности. Хотя сама теория множеств может быть противоречива в себе.
Примечание. Язык математики является универсальным, присущим явлениям, то есть наше математическое представление отражает сущность мира. Конечно, математические символы условны. Но перестанет ли математическая сущность быть, если мы запишем ее в другой условной системе, строящейся по другим принципам, например, в китайской? Здесь можно вспомнить языки разных народов. Всегда существует та или иная трансляция понятий. В математике же эта трансляция взаимоодназначна, здесь царит «предельный» детерминизм. Результаты, полученные в одной системе, можно с легкость переписать на другом языке. К примеру, сейчас математический анализ пытаются переписать на языке бесконечно малых и больших чисел. В такой системе доказательства некоторых теорем записывается в одну строчку. Так или иначе, в какой бы условной системе, на каком бы математическом языке не были доказаны математические утверждения, они не зависят от этой системы, то есть математическая суть инвариантна относительно этой системы, что говорит об ее объективности. К примеру, существуют изоморфные модели геометрии Лобачевского, или можно построить изоморфизм между геометрией на плоскости и алгеброй пар чисел. Здесь язык алгебры и геометрии эквивалентны. В уравнениях таинственным образом закладывается геометрическая суть. Где это можно увидеть, просто глядя на обычное алгебраическое уравнение, что оно содержит в себе закономерности геометрических объектов? В уравнениях заключена топология пространства. Это дает прочувствовать, что мы имеем дело с закономерностями, которые не зависят от условий их представления, то есть они являются инвариантными по отношению к своим представлениям. Мы касаемся истины в ее безотносительном к форме выражения основании.

8