Борисов В. А. Демография.

Поскольку при расчете средней продолжительности предстоящей жизни для новорожденных основание таблицы смертности l0 = 1, его можно опустить, и окончательно этот показатель выражается в виде суммы чисел живущих в жизненном интервале от рождения поколения до его полного исчезновения.
Для людей, достигших определенного возраста «x», расчет отличается лишь тем, что число доживающих до возраста «х», в знаменателе дроби уже меньше 1 и его опускать нельзя.
(6.5.10)

6.6. Расчет кратких таблиц смертности
Для анализа состояния и тенденций уровня смертности чаще всего бывает достаточным использование кратких таблиц смертности, т.е. по пятилетним возрастным интервалам. Для их построения необходимо располагать пятилетними возрастными коэффициентами смертности или данными для расчета таких коэффициентов. Обычно достаточно рассчитать лишь одну колонку таблиц, lx , qx или px , а все остальные колонки, кроме Lx , рассчитываются на основе взаимосвязей показателей таблиц смертности, представленных выше.
Для перехода от возрастных коэффициентов смертности тх к вероятностям смерти qx используется обычно одна из двух формул:
(6.5.11)

(6.5.12)
где qx — вероятность смерти в возрасте «х»; тх — возрастной коэффициент смертности; n — длина возрастного интервала.
Все остальные формулы показаны выше.
Построим для примера краткие таблицы смертности мужского населения России за 1995 г. и рассмотрим алгоритм расчета (см. таблицу 6.5).
1 . Из двух методов расчета по формулам (6.5.10) и (6.5.1 1) выберем второй метод — по показательной функции, потому, что она лучше, чем первая, учитывает кривизну изменения чисел доживающих lx. При этом вместо колонки вероятностей смерти qx будем рассчитывать колонку ее дополнения до единицы, т.е. вероятность дожития до следующего возраста, px. Таким путем мы избежим большого числа вычитаний из единицы.
2. Но сначала нужно возрастные коэффициенты смертности разделить на 1000 (т.е. перевести их из промилле в доли единицы) и перемножить на длину соответствующих возрастных интервалов. Для первого возрастного интервала 0 лет множитель будет равен 1, для второго — 1 — 4 года — 4, для остальных интервалов — 5.
3. Затем, возводя основание натурального логарифма «е» в отрицательную степень, равную произведению возрастного коэффициента смертности на длину возрастного интервала, находим значения колонки вероятностей дожития px (колонка 3 в таблице 6.5).
4. Следующая колонка — чисел доживающих «lx». Первое значение числа доживающих для возраста 0 лет — основание таблицы смертности 100000 (константа, которую всегда нужно помнить). Умножив 100000 на число доживающих p0, получаем число доживающих l1, умножив l1 на p1, получаем l2, и так — все значения колонки чисел доживающих до возраста «85 лет и старше».
5. Затем рассчитываем значения колонки dx как разность между соседними числами доживающих, т.е. 100000 – l0 = d0; l1 – l2 = d1, и т.д.
6. Далее рассчитываем числа живущих. Для всех возрастных интервалов, кроме первых двух ранних детских, числа живущих рассчитываются по формуле Lx = dx / тх. Для первых двух возрастных интервалов — 0 и1—4 — числа живущих определяются иначе ввиду резкой кривизны изменения линии дожития на этом участке. Так число живущих в возрасте 0 лет определяется уравнением L0 = l0  2 / 3dx . Число живущих в следующем детском возрастном интервале 1—4 года определяется из следующего уравнения 4L1 = 1,704l1 + 2,533l5  0,237l10. Число живущих в так называемом открытом возрастном интервале — 85 лет и старше — определяется по формуле L85+ = l85 / m85+. Поскольку все дожившие до 85 лет раньше или позже умрут после этого возраста, d85+ = l85.
Таблица 6.5
Расчет таблиц смертности мужского населения
России в 1995 году

Возрастные группы
(лет) тх (в долях единицы)


lx
dx
А 1 2 3 4 5
0 0,0205 0,0205 0,97971 100000 2029
1 — 4 0,0012 0,0048 0,99521 97971 469
5—9 0,0007 0,0035 0,99651 97502 341
10—14 0,0007 0,0035 0,99651 97,161 339
15—19 0,0024 0,0120 0,98807 96822 1155
20—24 0,0043 0,0215 0,97873 95667 2035
25—29 0,0054 0,0270 0,97336 93632 2494
30—34 0,0074 0,0370 0,96368 91138 3310
35—39 0,0100 0,0500 0,95123 87828 4283
40—44 0,0141 0,0705 0,93193 83545 5687
45—49 0,0193 0,0965 0,90801 77858 7162
50—54 0,0273 0,1365 0,87241 70696 9021
55—59 0,0340 0,170 0,84366 61675 9642
60—64 0,0471 0,2355 0,79018 52033 10917
65—69 0,0613 0,3065 0,73602 41116 10854
70—74 0,0779 0,3895 0,67740 30262 9763
75—79 0,1091 0,5455 0,57955 20499 8619
80—84 0,1555 0,7775 0,45955 11880 6420
85 и старше 0,2252 5460

Таблицы 6.5 (продолжение)

Возрастные группы
(лет) Lx Tx
ex
exоф
Разность
ех – ехоф
А 6 7 8 9 10
0 98647 5817496 58,17 58,27 0,10
1—4 390888 5718849 58,37 58,49 0,12
5—9 487143 5327961 54,64 54,78 0,14
10—14 484286 4840818 49,82 49,97 0,15
15—19 481250 4356532 45,00 45,12 0,12
20—24 473256 3875282 40,51 40,64 0,13
25—29 461852 3402026 36,33 36,48 0,15
30—34 447297 2940174 32,26 32,40 0,14
35—39 428300 2492877 28,38 28,51 0,13
40—44 403333 2064577 24,71 24,85 0,14
45—49 371088 1661244 21,34 21,47 0,13
50—54 330440 1290156 18,25 18,43 0,18
55—59 283588 959716 15,56 15,70 0,14
60—64 231783 676128 12,99 13,13 0,14
65—69 177064 444345 10,81 10,79 +0,02
70—74 125327 267281 8,83 8,74 +0,09
75—79 79001 141954 6,92 6,96 0,04
80—84 41286 62953 5,30 5,47 0,17
85 и старше 21667 21667 3,97 4,23 0,26

7. Значения колонки чисел живущих в возрастах старше «x» - Тх — получаются суммированием чисел живущих Lx с последовательным наращиванием суммы от конца ряда к началу.
8. Теперь путем деления чисел живущих в возрасте «х» лет и старше — Tx — на соответствующие числа доживающих — lx — определяется средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни — еx (колонка 8).
9. В колонке 9 показаны значения средней продолжительности жизни для всех возрастов, рассчитанные Госкомстатом России, а в колонке 10 — разность между значениями средней продолжительности жизни, рассчитанными нами по кратким таблицам смертности и сотрудниками госстатистики — по полным таблицам. Как видим, разница невелика, можно даже сказать — несущественна.