Борисов В. А. Демография.

Если проследить эту последовательность (порядок) вымирания поколения, начиная с основания таблицы смертности, то она будет выглядеть следующим образом: l0 = 1 или 10000 или чаще 100000 – d0 = l1 – d1 = l2 – d2 = l3 и т.д. В общем виде эту последовательность можно записать так: lx+1 = lx – dx (для полных таблиц) и lх+п = lx – dx+n, где п — длина возрастного интервала.
Каждый родившийся рано или поздно умирает, и в конечном счете число умерших (из каждого поколения, численность которых мы определили заранее) составит l0, т. е. число родившихся, или

где  –1 — предельный возраст, до которого доживает последний человек из поколения родившихся.
Формула (6.5.1) может быть использована в различных перестановках, к примеру:
lx = lx+1 + dx; dx = lx – lx+1, и т.д.
Вероятность смерти в возрасте «х» (в возрастном интервале от «х» до «х+1») ¾ qx — определяется в соответствии с правилами теории вероятностей как отношение числа умирающих в возрасте «х» – dx к числу доживающих до этого возраста, т.е. lz. В виде формулы эта связь выглядит так:
(6.5.2)
Из формулы хорошо видно, что вероятность смерти qx можно интерпретировать и как долю умирающих в возрасте «х» из числа доживающих до начала возрастного интервала «х».
Напротив, вероятность дожития до возраста «х + 1» — рх для тех, кто дожил до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»), будет определяться как отношение числа доживающих до возраста «х + 1» к числу доживших до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»). Запишем эту связь в виде формулы:
(6.5.3)
Отсюда можно так же, как и в предыдущей формуле, видеть, что вероятность дожития есть не что иное, как доля переживающих возраст «х» из числа доживающих до его начала.
Формулы (6.5.2) и (6.5.3) так же, как и (6.5.1), используются в виде различных преобразований, например: lx+1 = lxрх; dx = lxqxb и т. д.
Поскольку мы рассматриваем смертность, то в пределах одного возрастного интервала возможна только единственная альтернатива: либо пережить этот интервал и благополучно отметить следующий день рождения, либо, увы, не дожить до него. Иначе говоря, сумма вероятностей дожития до следующего возраста либо умереть, не дожив до него, равна единице, что можно изобразить в виде формулы:
qx + рх = 1. (6.5.4)
Эта простейшая формула оказывается, однако, очень полезной, так как, зная одну из двух вероятностей, всегда легко найти вторую (вычитанием из единицы).
Начав прослеживать закономерное уменьшение чисел доживающих с основания таблицы смертности, замечаем вскоре, что: l1 = l0p0.
Если основание таблицы l0 = 1, то, естественно, l0 в формуле можно опустить, и она примет вид: l1 = р0.
Далее, следуя той же логике: l2 = l1p1. Подставим вместо l1 его значение из предыдущей формулы (l1 = р0). Получим: l2 = р0 p1. Затем: l3 = l2р2 = p0p1p2 и т.д. Отсюда, кстати, видно, что число доживающих — нечто иное, как произведение вероятностей дожития, или, иначе говоря, оно само — тоже вероятность, вероятность для новорожденного дожить до возраста «х». В обобщенном виде эту связь можно записать и так:
lx = p0p1p3 x ………. x px-1. (6.5.5)
Поскольку в практических расчетах основание таблицы смертности принимается равным не 1, а 10000 и чаще всего 100000, то l0 опускать не приходится и формула (6.5.5) выражается в следующем виде:
lx = l0p0p1p2p3 x ………. x px-1.
Здесь, пожалуй, самое время сказать, что в таблицах смертности нет ни одного доживающего или умирающего. Вообще — ни одного человека. Одна смерть в чистом виде. Одни вероятности и доли. В этом их большое преимущество перед другими измерителями уровня смертности, поскольку при отсутствии человека нет и зависимости показателей таблиц смертности от возрастной структуры населения. Наименования «числа доживающих», «числа умирающих» — опять же условные наименования, не более того.


Рис. 6.2. Вероятность умереть qx для мужского и женского населения СССР, 1986—1987 гг.

Последовательность изменений чисел доживающих lx графически представляет собой линию дожития, характеризующую порядок вымирания поколения. Чем ниже уровень смертности, чем большая доля родившихся (поколения) доживает до старших возрастов, тем более выпуклой формы будет кривая дожития (см. рис.6.4).
Числа живущих. В таблицах смертности числа доживающих показывают долю остающихся в живых к началу каждого следующего года возраста, то есть к возрасту «x» лет остается в живых часть поколения lx, к возрасту «х + 1» — часть lx+1, и т.д.
Однако на самом деле при переходе от одного возраста к следующему численность поколения убывает непрерывно, поэтому число живущих в возрасте «х» есть некоторая средняя величина между значениями чисел доживающих lx и lx+1. Если разбить каждый год возраста на предельно малые промежутки времени и с помощью дифференциального исчисления определить средние величины живущих в каждом таком мельчайшем интервале, то изменение чисел живущих определяется путем интегрирования таких средних. В реальности интегрирование заменяется суммированием.

Рис. 6.3. Число умирающих dx мужчин и женщин СССР,
1986—1987 гг.
На практике обычно мы не располагаем значениями чисел доживающих lx, для более дробных возрастных интервалов, чем год. Поэтому для средних возрастов, в которых число доживающих изменяется почти прямолинейно, число живущих рассчитывается как обычная средняя арифметическая величина из двух чисел доживающих, на начало и конец возрастного интервала, т. е.:
(6.5.6)
На тех же участках кривой дожития, где ее кривизна значительна, число живущих определяют по формуле, учитывающей эту кривизну:
(6.5.7)
где dx — число умирающих в таблицах смертности; тх — возрастные коэффициенты смертности того же населения, для которого строились таблицы смертности.
Обычно по формуле (6.5.7) рассчитывают число живущих для всех участков кривой дожития, кроме самых первых детских возрастов, для которых используются специальные формулы (мы познакомимся с ними позднее, при построении краткой таблицы смертности).
Средняя ожидаемая продолжительность жизни. Число живущих можно трактовать также и как число человеко-лет, прожитых всем поколением родившихся в интервале возраста «x». Тогда, следовательно,

Рис. 6.4. Линии дожития lx мужского и женского населения СССР, 1926—1927, 1958—1959, 1986—1987 гг.

поколение родившихся l0 проживет на первом году жизни (т.е. в возрасте 0 лет) L0 лет, на 2-м году — LI лет, на 3-м — L2 лет и т.д., а всего:
(6.5.8)

где Т0 — число человеко-лет, которое предстоит прожить данному поколению родившихся.
Если эту сумму человеко-лет разделить на первоначальную численность поколения, т.е. на число родившихся l0, то получим очень важный социальный показатель, который называется показателем средней ожидаемой продолжительности жизни.
Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни — это число лет, которое проживет один человек в среднем из данного поколения родившихся при условии, что на всем протяжении жизни этого поколения смертность в каждой возрастной группе будет оставаться неизменной на уровне расчетного периода.
Продолжительность предстоящей жизни рассчитывается для новорожденных (или иначе говорят — ожидаемая продолжительность жизни при рождении) и для достигших некоторого возраста «х».
В виде формул расчет обеих средних можно представить следующим образом.
Для новорожденных:
(6.5.9)