СЛЕДОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЕ

— отношение между некоторым множеством высказываний Г (гипотез) и высказыванием В (заключением), отображающее тот факт, что, в силу только логической структуры названных высказываний и, значит, независимо от их содержания нельзя приписать всем высказываниям из Г значение истинно, не будучи при этом быть вынужденным приписать это значение и высказыванию В. В этом случае говорят о логическом следовании В из Г я семантическом смысле и записывают этот факт как утверждение Г^-В, читаемое: из Г семантически следует В.

В формализованных логических теориях (исчислениях) выражение rh обозначает, что формула В этого исчисления в рамках принятой семантики является истинной (обобщенно для многозначных логик: принимает выделенное значение) всегда, когда являются истинными (принимают выделенные значения) все формулы из Г.

В рамках логики, фиксирующей нормы логических рассуждений с помощью формализованных теорий (логических исчислений), говорят об отношении логического следования в смысле выводимости В из Г в некотором исчислении Т. Символически это записывают как Г-В с указанием, если необходимо, о каком исчислении идет речь. Г-В представляет собой метаутверждение о существовании построенной по определенным правилам конечной последовательности формул, называемой выводом из гипотез (см. Вывод логический}, в которой последняя формула есть 5. При наличии такой последовательности и говорят о логическом следовании В из Г в смысле выводимости. Если при построении последовательности оказывается возможным обойтись без использования посылок, то говорят, что В логически следует из пустого списка гипотез, что принимают как факт его логической доказуемости, в том смысле, что В является теоремой исчисления Г (символически: 1-5). Логические исчисления и определение в них вывода из гипотез строятся с таким расчетом, чтобы в рамках принятой для исчисления семантики условия истинности формул Г гарантировали истинность В. Более строго, семантика должна исключать случаи, при которых все входящие в Г формулы были бы истинными, а В было при этом ложным. Утверждения Г-В могут быть использованы как правила логики для высказываний с логической структурой, которую отображают соответственно формулы из Г и формула 5.

В классической логике множества верных утверждений вида Г-В и Г 1=5 совпадают в том смысле, что каждому Г -В соответствует Fh и наоборот.

Выражение |=В трактуется как утверждение о семантической истинности (общезначимости, тавтологичности В). Из понимания логического следования в семантическом смысле вытекает, что в случае семантической истинности В, мы должны признавать верным Г ^В и А ИД для любых Г и А. Иными словами, общезначимая формула следует из любой. Ясно также, что из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулыЛ (а также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула В. При понимании логического следования в смысле выводимости мы должны признавать верным всякое утверждение А -В, в котором Д — теорема исчисления, или Л — отрицание теоремы. Эти принципы, связанные с классической трактовкой логического следования, выглядят достаточно странными как с интуитивной точки зрения, так и с позиций традиционного понимания , и не случайно в связи с этим говорят о парадоксах классического понимания следования.

В некоторых случаях такого рода парадоксальность препятствует адекватному логическому анализу содержательных связей между высказываниями и других требующих содержательного подхода вопросов. Встает задача устранения парадоксов. При необходимости можно, хотя здесь есть свои трудности, построить исчисление, которое не позволяло бы получать утверждений вида Г-В, признаваемых парадоксальными. При этом, однако, надо либо отказаться от совпадения классов утверждений о логическом следовании в двух указанных смыслах, либо изменить семантику логических связок, либо изменить понимание логического следования в семантическом смысле. Необходимо также изменить понятие вывода из гипотез, чтобы теоремы исчисления нельзя было рассматривать как следствия из произвольных гипотез. Примером проблем, которые возникают на пути решения перечисленных задач, трудностей с которыми приходится сталкиваться при их решении, служит история становления и разъутя релевантной логика. Говоря о проблеме логического следования, имеют ввиду не только уже названные вопросы. Все перечисленные трудности и проблемы значительно усложняются, когда логическое следование  пытаются описать (формализовать) (см. Формализация) вобьекшом языке самих исчислений, за счет введения в этот язык соответствующей импликации. Теоремы таких исчислений в этом случае выступают как утверждения о следовании из утверждений о следовании же. Многие исследователи выступают против такой интерпретации импликации на том основании, что это влечет к смешению языка и метаязыка. Импликация объектного языка, по их мнению, выражает различного типа условные связи, включая и необходимую, порождаемую отношением логического следования. Различные подходы к формализации логического следования привели наряду с классической теорией материальной импликации к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.

Лит.: Сидоренко Е. А. Логическое следование и условные высказывания. М.,1983.

Е. А. Сидоренко