ВЕЛИЧИНЫ СРЕДНИЕ

– абстрактная, характеристика нек-рой совокупности единиц (рез-тов наблюдений, значений случай­ной величины и т. д.), показатель их среднего уровня, часто интерпретируемый как типичная единица совокупности (хотя средняя не обяза­тельно является членом последней). Анализ сред­них позволяет глубже понять особенности изу­чаемой совокупности, абстрагироваться от слу­чайных и неслучайных колебаний ее элементов. Существует огромное количество видов В.с. Наиболее глубоко развита теория средних для такого случая, когда в качестве единиц х₁, ... ,х_n исходной совокупности выступают действитель­ные числа. Имеется ряд способов свести такие средние к небольшому количеству формул. Наиболее широкое определение средних – это т.н. средние по Коши. Функция f(x₁, ... ,x_n), принимающая действительные значения, наз. средней по .Коши совокупности чисел х₁, ... ,х_n, если:

Все известные средние являются средними по Коши. Взвешенные средние определяются следующим образом: f(x₄₁, ... ,x_n)=a₁x(l) a₂x(2) ... а_nх(n) , где а₁, ... ,а_n – действительные числа, удов­летворяющие условиям а₁ ... а_n=1, а₁>0, i=1,... ,n; х(1)<х(2)< ... <х(n) – вариационный ряд, построенный по совокупности х₁, ... ,х_n. При а₁= ... =а_n=1/n взвешенная средняя превраща­ется в среднее арифметическое

Для nп1/п)<х(2)< ... <х(по Уя вероят=2к 1 (нечетного) при а_{к 1}=1 функ­ция f превращается в медиану. Ме=х(к 1), а для n=2к (четного) при   а_к=а_{к 1}=1/2 – в медиану . При а_[k/4] =1 или а_[3k/4] (прямые скобки означают целую часть – заключенного в них выражения; напомним, что целая часть, не превосходящее эту величину).

Известно много попыток охарактеризовать средние с помощью систем аксиом (см. Метод аксиоматич.). Естественная система аксиом при­водит к такому общему виду средней

где F – строго монотонно возрастающая или убывающая функция; F^-1– функция, обратная ей. При F(z)=z, In z, z^-1, z², приведенная фор­мула превращается в среднее арифметическое,

среднее геометрическое  

среднее гармоническое

среднее квадратическое

Работа по аксиоматизации теории средних продолжается и в настоящее время.

Особое значение в социологич. исследова­ниях играют средние, являющиеся характери­стиками распределения вероятностей (см.) рас­сматриваемых величин случайных (см.). В пер­вую очередь следует назвать математич. ожида­ние случайной величины. Если случайная вели­чина имеет дискретное распределение с возмож­ными значениями х₁, ... ,х_n и соответствующими им вероятностями р₁, ... ,р_n, то математич. ожи­дание определяется по формуле:

Если r имеет непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то

где А – область изменения r.

С помощью математич. ожидания опреде­ляются многие характеристики распределения, напр, дисперсия, ковариация (см. Меры рассея­ния). Математич. ожидание есть характеристи­ка расположения значений случайной величи­ны, среднее значение ее распределения. В этом качестве математич. ожидание служит нек-рым "типичным" параметром распределения и его роль аналогична роли координаты центра тяже­сти распределения массы в механике. Однако специфика социологич. задач приводит иногда к таким ситуациям, когда анализ самого понятия "типичности" обусловливает необходимость ис­пользования для наиболее типичного объекта не математич. ожидания, а других видов средних. От прочих характеристик расположения, с помощью к-рых распределение описывается в общих чертах (напр., мод, медиан), математич. ожидание отличается тем большим значением, к-рое оно имеет в теории вероятностей (см.). Одной из характеристик распределения ве­роятностей значений случайной величины, по­лученных по шкале, тип к-рой не ниже типа порядковой шкалы, является медиана, частный случай квантили (см.). Медианой наз. число т (одно из возможных значений рассматриваемой случайной величины; если при получении этих значений использовалась шкала, тип к-рой ниже типа абсолютной шкалы, то, вообще говоря, тер­мин "число" может быть употреблен лишь ус­ловно), для к-рого вероятность того, что наугад выбранное значение рассматриваемой случайной величины меньше m, равна 1/2 (со строго мате­матич. т.зр. такое определение не учитывает воз­можности разрыва функции распределения в точке m). Любая случайная величина  имеет, по крайней мере, одну медиану. Если функция распределения этой величины – строго моно­тонная функция, то медиана единственна. При симметричном распределении, если медиана единственна, она совпадает с математич. ожида­нием (если последнее существует). Для оценки медианы распределения по независимым рез-там наблюдений используют т.н. выборочную медиа­ну – медиану составленного по выборочным на­блюдениям вариационного ряда, вычисляемую по приведенной выше формуле для Me. Еще одной характеристикой распределения вероятностей случайной величины является мода. Для случайной величины ф, имеющей плотность вероятности р(х), модой наз. любая точка х₀ мак­симума (локального) р(х). Мода определяется и для дискретных распределений. Если значения х₁, ... ,х_n, принимаемые r, расположены в по­рядке возрастания, то точка х_m наз. модой, если Р_m>Р_m-1 и Р_m>Р_{m 1}оценки моды распределе­ния по независимым рез-там наблюдений (зна­чений случайной величины) используют выбо­рочную моду: наблюдение, к-рому отвечает ло­кальный максимум наблюдаемых частот (служа­щих оценками соответствующих вероятностей). Распределения с одной, двумя или большим чис­лом мод наз. соответственно унимодальными (или одновершинными), бимодальными и мультимо-дальными. Наиболее важными в теории вероят­ностей и математич. статистике являются уни­модальные распределения. Наряду с математич. ожиданием и медианой мода служит характе­ристикой расположения значений случайной величины. Для унимодального и симметричного относительно нек-рой точки а распределения мода равна а и совпадает с медианой и матема­тич. ожиданием, если последнее существует. Основным условием использования того или иного вида средних является определенная ка­чественная однородность изучаемой совокупно­сти объектов. Главной определяющей чертой такой однородности является справедливость предположения о том, что вариация рассматри­ваемого признака носит характер случайности по отношению к тем условиям, к-рые определя­ют основные черты характеризуемого с помощью средней распределения. Др. словами, отклонения значений признака от среднего уровня в одно­родной совокупности можно считать случайными. Используя различные средние в социоло­гич. исследованиях, необходимо иметь в виду, что выбор среднего в значительной мере зави­сит от типа тех шкал, по к-рым получены ис­ходные данные (см. Адекватность математич. метода, n.2). Так, если в процессе получения содержательных выводов сравниваются средние величины, характе Р_m>Р_m-1ризующие какие-то две сово­купности объектов, то выбор средних должен осуществляться в соответствии с приведенной ниже таблицей [f – вид средней, r – произ­вольное допустимое преобразование шкалы (см.)]. Пары <f, r >, устойчивые относительно сравнения. Лит.: Рябушкин Т.В. Средние в статистике. М., 1959; Джини К. Средние величины. М., 1970; Гласе Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психо­логии. М., 1976; Орлов А.И. Устойчивость в социально-эко­номических моделях. М., 1979; Математическое ожидание, Медиана, Мода//Математическая энциклопедия. Т. 3. М., 1982. Андреенков В.Г. Анализ и интерпретация эмпири­ческих данных//Социология. Основы общей теории (под ред. Осипова Г.В., Москвичева Л.Н.). М., 1996. Г.Г. Татарова, Ю.Н. Толстова.