Число и величина в античности

Наличие двойственности — пары начал: бытия и становления, — выражается также в различении античностью понятий числа и величины . Число (математическое) — это такое множество, в котором можно различить неразложимые далее дискретные составляющие, т.е. неделимые единицы. Величина же — это множество, беспредельно делимое в каждой своей части, т.е. непрерывное (Аристотель, «Физика» VI 2, 232а23). Число поэтому в большей мере представляет единство, предел, логос и смысл, величина же — множество, беспредельное, стихию становления (что соответствует разделению на счислимое и несчислимое множества). Это — одна из причин отделения Платоном сферы дискретных в своей основе, неразложимых чисел и идей от сферы величин — геометрических фигур, которые хотя и несут умопостигаемые признаки, но также сродны телесным, физическим величинам в своей наглядной представимости и беспредельной делимости.

Между дискретным и непрерывным нет перехода: дискретное — признак идеального бытийного мира, непрерывное — признак мира телесности, поэтому их и рассматривают в античности разные науки: арифметика — числа, геометрия и физика — величины. Число и величина взаимодополнительны, но также и взаимоисключающи. И если число идеально, то величина пространственно выражена. Можно говорить о символическом представлении чисел в величинах (например, единицы — в точке, двойки — в линии и т.д.), но только как изображении первых в последних, а никоим образом не их отождествлении: число и величина, бытие и небытие никогда не сойдутся, между ними античная мысль в отличие от европейской всегда полагает водораздел.

Не только тождественное, но и инаковое по-разному проявляется в числе и величине, что выражается в их разном отношении к бесконечности. Прежде всего, как доказывает Аристотель, не может быть актуально бесконечного тела — актуальная бесконечность вообще непознаваема. Бесконечное тело, бесконечная величина непознаваема, "непроходима" ни мыслью, ни чувствами до конца (ибо конца-то у нее и нет), у нее нет места в космосе, она не может быть ни подвижной, ни неподвижной, в ней ничего нельзя различить с определенностью, поэтому ей можно приписать любые, взаимоисключающие определения и предикаты. Тем самым она самопротиворечива и потому невозможна. Но величина не может быть также и потенциально бесконечной: хотя и причастная инаковости и становлению, она все же представляет собой нечто цельное, охватное и единственное.

В некотором смысле тело, величина является "верхним пределом" самого себя, она — своего рода собственная непрерывная цельная "единица", которая может быть только уменьшена, т.е. делима, но не увеличиваема (иначе это будет уже совсем другая величина). Число же не может быть сколь угодно делимо, ибо его основа и наименьший элемент, единица, не имеет частей и неделима. Поэтому единица — дискретное целое, "нижний предел" числа, так что, по словам Стагирита, "для числа имеется предел в направлении к наименьшему, а в направлении к большему оно всегда превосходит любое множество, для величины же наоборот: в направлении к большему бесконечной величины не бывает" (Аристотель, «Физика» III 7, 207bl слл.). Таким образом, (математическое) число может быть бесконечно увеличиваемо, но не уменьшаемо, тогда как величина, наоборот, может быть беспредельно делима, но не увеличиваема. Пределом же, ограничивающим бесконечное, в одном случае в отношении прибавления-увеличения, в другом — в отношении уменьшения-деления, служит целое, в одном случае — дискретная единица, в другом — сама непрерывная величина. Тем самым задается также и разделение двух типов бесконечности: путем прибавления и путем отнятия, т.е. превосхождением дискретного и делением непрерывного, что Платон называет бесконечным в большом и в малом, связанным с операциями удвоения и половинного деления, соответствующим опять-таки не сводимым друг к другу понятиям тождественного и инакового, единого и многого, дискретного и непрерывного (Анаксимен, А5).