Основные законы арифметики

Основные законы арифметики
        «ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АРИФМЕТИКИ» — философско-математическая работа немецкого математика и логика Готтлоба Фреге (Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. B. I. Jena, 1893; B. II. Jena, 1903), в которой была предпринята исторически первая попытка чисто логического обоснования арифметики, а тем самым и математического анализа. В концептуальном плане здесь были выражены идеи, развитые Фреге в его труде «Основания арифметики» (1884) и в цикле логико-семантических статей 90-х г г. (см. «О смысле и значении»); логическим же аппаратом служила «запись в понятиях» (см. «Исчисление понятий»), обогащенная рядом новых выразительных и дедуктивных средств. Во Введении к тому I Фреге подверг резкой критике субъективистско-психологиче-ский поход в логике.
        Основными категориями в «О. з. а.» служили «предметы» и «функции», а также «понятия», истолковываемые как частный случай функций. Отличительным свойством функций (и их имен) Фреге считал их «ненасыщенность», т.е. способность к восполнению аргументами (предметами), обращающему их в предметы (имена предметов); в случае понятий — истинностнозначных функций, т.е. функций, принимающих значение «истина» либо «ложь», — «ненасыщенность» понималась как их предикативность: способность порождать суждения. Допускалась иерархия функций, но не предметов: все они считались находящимися на одном уровне и входящими во всеохватывающую предметную область, которую можно назвать универсумом Фреге. Такой подход был связан с убеждением автора в том, что законы (классической) логики выражают «бытие истины» и едины для всех — конкретных и абстрактных («логических») предметов.
        Важнейшим понятием, позволившим Фреге использовать «запись в понятиях» (являвшуюся аксиоматически построенным классическим исчислением предикатов второй ступени с равенством), был «пробег значений функции», определяемый как то общее, что присуще двум функциям, когда для любых значений аргументов значения этих функций совпадают. Для понятия «пробег значений» есть его объем, т.е. класс предметов, обладающих свойством, представляемым данным понятием: если X понятие, то его объем, выражаемый формулой вида ЕХ(Е), подчиняется закону: (еФ(е) = Е Е ) ) = /х(Ф(х) = *?(х)), где V — квантор общности; этот закон — вариант принципа абстракции, так как позволяет вводить в рассмотрение абстрактные объекты, в частности классы (множества), классы классов и т.д. Даже индивидуальные предметы (например, некий предмет Д) могут рассматриваться как пробег значений функции (а именно функции видах = А). Семантическая концепция Фреге запрещала использование пустых имен (имен, не имеющих предметного значения), но допускала пустые понятия.
        Центральным пунктом концепции «О. з. а.» — он был указан еще в «Основаниях арифметики» — является определение «количественного числа» (численности, Ahn-zal; кардинального числа). Определение численностей происходит при этом путем ссылки на свойства понятий: численность, присущая понятию F, есть объем понятия «быть равночисленным понятию F»; под равно-численностью же понятий понимается наличие взаимнооднозначного соответствия между элементами их объемов; численности являются не функциями, а предметами и как таковые входят в универсум Фреге. Натуральные числа — частный случай численностей — Фре-ге называет «конечными числами», и для них в его системе доказываются известные аксиомы Пеано, включая принцип полной математической индукции. Трансфинитные кардинальные числа (по терминологии Кантора) возникают в системе Фреге, когда вводится «численность понятия "быть конечным числом"». Вообще, на логико-арифметическую систему Фреге можно смотреть как на логизированную теорию множеств.
        Особенностью построения Фреге было то, что, вводя одну за другой функции, нужные для доказательства теорем своей системы, он для каждой из них устанавливал, какие значения она принимает для аргументов, которыми являются пробеги значений, а также для всех прочих аргументов. Поэтому, скрупулезно доказывая теорему за теоремой, Фреге не озаботился доказательством непротиворечивости своей системы. Но в 1902, когда том II «О. з. а.» был уже в печати, он получил письмо от Б. Рассела, в котором последний сообщал о содержащемся в системе Фреге противоречии (известном ныне как «антиномия Рассела»). Этот факт произвел сильнейшее впечатление на Фреге. Он не нашел способа преодолеть возникшую трудность, хотя и осознал, что она коренится в характере принятого им принципа абстракции. В итоге, он предпочел вернуться в логике к построению 1 8 7 9 г. и не принял предложенный Расселом способ устранения противоречия на пути теории типов, ибо последняя не отвечала его пониманию универсальности законов логики и ее предметной области. В конце жизни обоснование математики Фреге пытался искать не в логике, а в «геометрическом источнике» познания, но не преуспел в этом.
        Философские воззрения, лежащие в основе «О. з. а.» — логический антипсихологизм, представление об аналитическом характере логических и математических предложений, идея логицизма, т.е. сведения математики к логике (у Фреге не распространявшаяся на геометрию!), убеждение в единстве логического начала познания, в его объективном характере и в важности для него принципа абстракции, — все это оказало сильнейшее влияние на последующую логическую и философско-математическую мысль. Без «О. з. а.» были бы немыслимы ни «Principia Mathematical А.Н. Уайтхеда и Б. Рассела, ни математико-логические исследования Д. Гильберта и его школы.
        Лит. см. при статьях «Исчисление понятий» и «О смысле и значении».
        Б.В. Бирюков

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация». И.Т. Касавин. 2009.