Центральная предельная теорема (central limit theorem)

Ц. п. т. касается распределения линейной композиции (или, проще, суммы) случайных величин. Y яв-ся линейной композицией множества переменных (X1, Х2, Х3 и т. д.), если Y = a1Х1 + а2Х2 + а3Х3 + ..., где ai — соответствующие веса переменных. Напр., если Y = 3Х1 + 4Х2, то а1 = 3, а а2 = 4. Согласно Ц. п. т., форма распределения Y начинает приобретать все большее сходство с нормальным распределением по мере увеличения числа входящих в такую линейную композицию переменных. В более точной формулировке Ц. п. т. гласит, что составная случайная величина Y имеет асимптотически нормальное распределение, когда число образующих ее переменных стремится к бесконечности. Ц. п. т. яв-ся одним из главных оснований регулярного использования психологами и статистиками нормального распределения. Отметим, что эта теорема не требует нормального распределения случайных величин, являющихся линейными составными элементами сложной случайной величины Y. Y асимптотически нормально распределена, даже если образующие ее переменные имеют распределения, принципиально отличающиеся от нормального. Возможно, это проще всего пояснить на примере линейной композиции исходов бросания монеты. Допустим, что подбрасывается правильная (симметричная) монета и случайное выпадение «орла» отмечается нулем (0), а случайное выпадение «решки» — единицей (1). Этот эксперимент имеет два возможных исхода, и оба они равновероятны. Если мы обозначим исход эксперимента через X, то можно принять, что Р (X = 0) = 0,5 и Р (X = 1) = 0,5. Распределение случайной величины X изображено на рис. 1.

Рис. 1. Распределение X

Повторим этот простой эксперимент десять раз, получая значения для X1, Х2, Х3 ... Х10. Каждый из X имеет одинаковое распределение. Можно создать новую переменную, являющуюся линейной композицией X. Пусть Y = X1 + Х2 + X3 + ... + Х10. Y представляет собой число «решек» в десяти бросаниях правильной монеты, а его распределение показано на рис. 2. Отметим, что всего лишь с 10 переменными в нашей линейной композиции распределение Y имеет бесспорное сходство с нормальным распределением. Если бы монета была подброшена 1000 раз, распределение суммы исходов (Y) стало бы практически неотличимым от нормального распределения.

Рис. 2. Распределение Y

Часто знакомство с Ц. п. т. происходит на уровне ее частного случая, касающегося распределения выборочного среднего. Выборочное среднее представляет собой линейную композицию полученных на конкретной выборке замеров с весовыми коэффициентами 1 / N, где N — объем выборки. Если N достаточно велико, распределение выборочного среднего будет нормальным и тогда нормальное распределение можно использовать как для получения интервальных оценок генерального среднего, так и для проверки гипотез в отношении выборочного среднего. Обычно исследователи делают допущение, что выборочное среднее имеет нормальное распределение при N >= 30, однако то, насколько быстро распределение приближается к нормальному, зависит еще и от того, в какой степени распределения составных элементов (X) соответствуют нормальному. Если значения X распределены нормально, то их среднее всегда будет иметь нормальное распределение. Если распределение значений X сильно отличается от нормального, то для обоснованного применения Ц. п. т. может потребоваться выборка, объем которой (N) значительно больше 30.

Ц. п. т. тж можно использовать для объяснения факта нормального распределения мн. физ. измерений. Челов. рост и вес определяются множеством факторов, включающим, возможно, сотни генов и тысячи переменных, связанных с предысторией питания и психол. развития. Рост или вес чел. можно представить себе в виде линейной композиции тысяч переменных, и потому как рост, так и вес должны по определению иметь нормальное распределение. Мн. психол. черты, такие как интеллект, тж нормально распределены, возможно, потому что на них влияют тысячи генов вместе с пренатальными и постнатальными событиями. Отклонения от нормальности предполагают сильное влияние одного из событий, превышающее совокупное влияние их линейной композиции. Напр., у крайне низкорослых людей, настолько низкорослых, что их появление не согласуется с нормальным распределением, рост может быть обусловлен нарушениями функций гипофиза. В рез-те, на их рост не оказывают влияния гены или события, к-рые при др. обстоятельствах могли бы сделать их выше. Аналогично этому, люди с крайне низким интеллектом, возможно, имеют редкий генетический дефект или повреждение ЦНС, вызванное какой-то травмой.

См. также Проверка нулевой гипотезы, Статистика в психологии

М. Эллин