ИДЕМПОТЕНТНОСТЬ

ИДЕМПОТЕНТНОСТЬ
(от лат. idem – тот же самый и potens – сильный, мощный; букв. – равносильность) – свойство нек-рых объектов, рассматриваемое в логике (и алгебре) и выражаемое в общем случае формулой a*a=a. В частных случаях в формуле, выражающей И., может вместо буквы а стоять та или другая конкретная константа (число, истинностное значение и т. п.) или же (буквенная) переменная, а вместо знака "*" – знак к.-л. конкретной операции. Напр., равенство 0+0=0 выражает И. числа 0 относительно сложения, а равенства 0·0=0 и 1·1=1 – И. чисел 0 и 1 относительно умножения. Словами об этих примерах И. говорят часто так: нуль идемпотентен (или является идемпотентом) относительно операций сложения и умножения, а единица идемпотентна относительно умножения. Ложность равенства 1+1=1 показывает, что относительно (обычного) сложения число 1 неидемпотентно. Отсюда видно, что И. следует в общем случае рассматривать как свойство пары объектов (а и *) или как отношение между ними. Вторым из этих объектов является двуместная операция (т.е. операция, применяемая каждый раз к двум предметам, или, иначе говоря, функция двух переменных), относительно к-рой первый из этих объектов идемпотентен. Однако часто рассматривается тот случай, когда всякий из тех объектов, к к-рым допускается применение данной операции, идемпотентен относительно нее. В таком случае говорят об И. как свойстве самой этой операции, т.е. говорят, что эта операция идемпотентна. Примерами идемпотентных в этом смысле операций являются операции (булева) сложения и умножения в любой булевой алгебре (см. Алгебра логики) и вообще в любой структуре (решетке), в т. ч. операции объединения и пересечения в логике классов и множеств теории, а также операции дизъюнкции и конъюнкции, описываемые в алгебре логики и логике высказываний. И. последних двух операций выражается т.н. законами идемпотентности: A/A=A и A·A=A в алгебре логики или А/АИДЕМПОТЕНТНОСТЬА и А&АИДЕМПОТЕНТНОСТЬА в исчислении высказываний (здесь А – т.н. переменное высказывание, "/" – знак дизъюнкции, "&" и "·" – знаки конъюнкции, а "ИДЕМПОТЕНТНОСТЬ" – знак эквивалентности). Законы И. дизъюнкции и конъюнкции соответствуют свойствам связок (т.е. логич. союзов) "или" (неразделительного) и "и" при обычном истолковании их смысла и употребления в естеств. языке. Напр., сказать "снег бел или снег бел" или сказать "снег бел и снег бел" – значит высказать, в сущности, просто то, что снег бел. Это, конечно, верно при определ. условиях: предложения (высказывания) рассматриваются только с т. зр. их значений (напр., только с т. зр. их истинности или ложности, а не с т. зр. того, какие слова в них имеются и сколько слов), повторение предложений не означает, напр., подчеркивания протяженности в пространстве или длительности во времени того, о чем в них говорится. В рамках абстракций, лежащих в основе обычной алгебры логики, эти условия выполняются. Но уже при применении алгебры логики к теории электрич. схем следует учитывать возможные нарушения закона И., вызываемые, напр., тем, что проводимость последоват. соединения двух одинаковых схем практически меньше, чем проводимость каждой из них (в силу сложения их сопротивлений).
Следствиями И. дизъюнкции являются равенства А = A/A = A/A/A = A/A/A/A =... (или соответствующие им эквивалентности). Следствия И. конъюнкции–равенства А = АА = ААА = АААА =... Последние означают, по существу, что в алгебре логики можно обходиться без степеней, т. к. все "степени" высказывания А равны самому А (отсюда буквальный смысл слова И.).
Из частных случаев И. встречается часто (особенно в т.н. теории колец или в т.н. теории полугрупп) и такой, когда двуместная операция, относительно И. к-рой идет речь, фиксирована и рассматривается как умножение или как нек-рый его аналог. В таких случаях говорят просто об И. тех или иных объектов, не оговаривая, относительно какой операции идет речь, т. к. она подразумевается (напр., булево кольцо иногда определяют как такое кольцо, все элементы к-рого идемпотентны). Среди этих случаев имеется и тот, когда в роли этих объектов выступают тоже операции, но не двуместные, а одноместные, а в роли аналога умножения – операция суперпозиции (подстановки, итерирования) одноместных операций. Именно, одноместная операция (функция) ? наз. идемпотентной, если ?(f(х)) = ?(х) при всех значениях ее аргумента x. Примеры таких операций: операции необходимости и возможности в модальной логике (если считать, что возможность возможности есть просто возможность); операция двойного отрицания ( А ИДЕМПОТЕНТНОСТЬ А, что доказуемо не только в классич. исчислении высказываний, но также и в интуиционистском и в минимальном исчислении; здесь – знак отрицания, а в роли ?(А) выступает А, а не просто А); умножение числа на нуль [(х)=х 0], где И. выражается равенством (х 0) 0 = х 0; абс. величина числа (,х/ = х/).
Лит.: Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947; Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ.; М., 1952; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; Чёрч ?., Введение в математическую логику, т. 1, М., 1960.
А. Кузнецов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.