А=А

А=А
формула, выражающая принцип тождества в формальной логике; читается: "А есть А", "А тождественно А", "А равно А", "А есть то же самое, что А", "А эквивалентно А".
Различают онтологический и логич. аспекты принципа А = А. Онтологич. аспект означает отнесение формулы А = А к самим реальностям – вещам, свойствам, отношениям; формула А = А в этом смысле есть утверждение о тождестве предмета А самому себе. Логич. аспект означает отнесение формулы А = А к понятиям и суждениям; формула А = А в этом смысле есть утверждение о тождестве мысли А себе самой. В истории логики и философии понимание формулы А = А находилось в зависимости от философских взглядов мыслителей, особенно от решения ими основного вопроса философии. Различные философы выдвигали на первый план то онтологический, то логич. аспект принципа А = А. В др.-греч. философии принцип тождества в онтологич. смысле развил Парменид. Аристотель подчеркнул логич. аспект этого принципа, рассматривая постоянство смысла слов в качестве необходимого условия правильного рассуждения. Формула "А есть А" вошла в употребление в ср.-век. логике.
В домарксистской философии и традиционной формальной логике (т.е. логике, к-рая выросла из аристотелевского логич. учения благодаря, прежде всего, трудам ср.-век. зап.-европ. логиков и после Канта приняла замкнутую форму т.н. школьной логики) принцип, выражаемый формулой А = А, трактовался преимущественно в метафизич. смысле. Метафизич. трактовка формулы А = А выражается утверждениями: "всякий предмет А есть то же, что А", "каждая вещь тождественна себе самой", что понимается как признание тождества различных по времени состояний вещи, т.е. как утверждение о неизменности вещей. Такое истолкование формуле А = А придавал, напр., X. Вольф (конец 17 – нач. 18 вв.), к-рый писал: "То же самое сущее есть то самое сущее, которое является сущим. Или, иначе говоря, всякое А есть A" ("Philosophia prima sive ontologie", 1729, § 55). Подобные утверждения понимались обычно как признание неизменных сущностей (изменчивость в мире чувственных данных, конечно, не отрицалась). Такой подход соответствовал характеру науки 16–18 вв., к-рая рассматривала виды животных и растений, типы минералов, химич. элементы и т.д. как нечто вечное и неизменное. Классики марксизма резко критиковали метафизич. истолкование формулы А = А. "Принцип тождества в старо-метафизическом смысле, – писал Энгельс, – есть основной принцип старого мировоззрения: а = а. Каждая вещь равна самой себе. Все считалось постоянным – солнечная система, звезды, организмы. Естествознание опровергло этот принцип в каждом отдельном случае...; но в области теории он все еще продолжает существовать, и приверженцы старого все еще противопоставляют его новому: „вещь не может быть одновременно сама собой и другой“" ("Диалектика природы", 1955, с. 170). Областью теории, в которой и в 19 веке господствовал этот принцип, была бурж. философия и метафизич. формальная логика (ср., напр., взгляды Джевонса). Метафизич. принцип А = А проявляет себя и в последующие периоды бурж. филос. мысли; в частности, неопозитивистская концепция логического атомизма по существу основана на этом принципе.
Логич. аспект формулы А = А также подвергался метафизич. истолкованию. Это истолкование сводилось к следующему: полагали, что предписание "предмет должен сохранять свое тождество, не переходить в другой предмет, не смешиваться с другими предметами, пока о нем ведется рассуждение" всегда выполнимо в процессе познания. В соответствии с таким взглядом требовали, чтобы в процессе каждого данного рассуждения всякий мыслимый предмет (то есть мысль о любой вещи в данном рассуждении) оставался тем же самым. Такое понимание формулы А = А составляет характерную черту традиционной формальной логики, в к-рой считается абсолютным законом, что в рассуждении, доказательстве, дискуссии каждое понятие (сколько бы раз оно ни встретилось в рассуждении) должно сохранять неизменным свой объем и свое содержание (по крайней мере, в его основной части), а каждое суждение (сколько бы раз оно ни использовалось в доказательстве) должно сохранять неизменной заключенную в нем информацию. В формальной логике считается, что нарушение этого принципа всегда представляет собой логич. ошибку формального характера, не вытекающую из природы рассматриваемых объектов, не зависящую от характера той области действительности, к-рая подлежит исследованию, не связанную с объективными особенностями понятий и суждений как средств логич. отражения действительности, не зависящую от свойств того языка, на к-ром ведется рассуждение.
Метафизич. истолкование формулы А = А с позиций идеалистич. диалектики подверг критике Гегель. Однако он не смог выявить рациональный смысл этой формулы. Познавательное значение и вместе с тем ограниченность принципа А = А выясняются материалистич. диалектикой. Объективный диалектич. процесс, происходящий в природе и обществе, характеризуется тем, что вещи, свойства и отношения находятся в состоянии взаимодействия, развития, столкновения противоположных тенденций; это делает все грани в объективном мире относительными, изменчивыми; вместе с тем вещи и явления в этом процессе сохраняют, в определенных пределах, качественную определенность, обладают относительной устойчивостью, что и делает возможным подход к ним с позиции рационально понимаемого принципа тождества. Абсолютного тождества вещи себе самой, исключающего всякое развитие, не существует. Тезис о том, что всякий предмет тождествен самому себе, ложен. "Всякая конкретная вещь, всякое конкретное нечто, – писал Ленин, – стоит в различных и часто противоречивых отношениях ко всему остальному, ergo, бывает самим собой и другим" ("Философские тетради", 1947, с. 112). Формула А = А приобретает рациональный смысл, если под ней понимать утверждение о том, что вещь, изменяясь, сохраняет вместе с тем на определенных этапах своего развития нек-рые основные, существенные (в данной связи) свойства, а также относительную отграниченность от других вещей. Понятие о тождестве вещи себе самой есть идеальный случай, к-рый мы получаем, отвлекаясь от несущественных (на данной ступени изучения) изменений вещи.
Диалектический материализм отбрасывает также метафизическую трактовку логич. аспекта формулы А = А. Применение принципов материалистич. диалектики к логике приводит к выводу, что однозначность понятий и суждений, применяемых в процессе познания, не есть какое-то их неотъемлемое свойство, а представляет собой результат логич. обработки понятий и суждений, совершающейся в процессе познания; лишь после такой обработки к ним оказываются применимыми законы формальной логики (формальная логика берется здесь в широком смысле, в нее, в частности, включается логич. содержание математической логики). Для большинства суждений такая обработка состоит, напр., в таком уточнении заключенной в них информации, к-рое делает их либо истинными, либо ложными и притом только одним из двух. Формально-логич. обработка понятий предполагает, прежде всего, отвлечение от таких свойств мыслимых в них объектов, к-рые могут сделать объем понятия изменчивым, неопределенным. Однако естественное как будто требование к уточнению понятий, состоящее в том, чтобы относительно каждого предмета (нек-рой области предметов) всегда было возможно установить, входит ли он в объем уточненного понятия или нет, оказывается отнюдь не всегда выполнимым (см. Алгоритм). Диалектич. материализм исходит из того, что формально-логич. обработка (формализация) понятий и суждений возможна далеко не во всех случаях; что принципиально невозможно формализовать все понятия и суждения, к-рыми пользуются наука и практика на данной ступени познания; что пределы логич. формализации зависят от изучаемой области действительности; что способы уточнения понятий и суждений могут быть различными в различных научных теориях; что переход от одного способа логич. формализации к др. способу, позволяющему глубже отразить действительность, является противоречивым процессом, развертывающимся в ходе развития науки и практики и подчиняющимся законам диалектич. логики; что именно в этом процессе важнейшее значение приобретает та универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей, значение к-рой в познании подчеркивал Ленин (см. тамже, с. 84, 121).
Следует выделить три важных фактора общего характера, ограничивающих возможность строгого (в смысле формальной логики) уточнения понятий и суждений и тем самым суживающих сферу применимости формулы А=А:
1) относительность понятия предмета в логике,
2) трудности, связанные с различением и отождествлением вещей материального мира, их свойств и отношений,
3) нек-рые свойства языка.
Метафизич. понимание формулы А = А покоится на наивном понимании предмета как объекта произвольной природы или даже как всего того, что может быть о б ъ е к т о м м ы с л и. Такое представление о предмете типично для традиционной формальной логики, а также для ранних стадий в развитии математич. логики. Однако оно бессодержательно и приводит к формальным противоречиям [впервые противоречие, связанное с неопределенностью (в известном смысле) понятия предмета, было получено Расселом в логической системе Г. Фреге (см. такжеПарадоксы)]. Это совершенно понятно, ибо в процессе познания мы всегда имеем дело с определенными областями действительности, в которых понятие предмета имеет вполне конкретный смысл. Именно для определенных областей познания имеет смысл требование такого уточнения понятий и суждений, которое делает применимыми в них принципы формальной логики, в том числе принцип А = А.
Понятие предмета, к-рым пользуются в логике, представляет собой абстракцию, образуемую посредством отвлечения от тех или иных (несущественных в данной области) свойств вещей и процессов объективной реальности. Эта абстракция существенно зависит от возможности различения и отождествления объектов познания. Возможность различения и отождествления объектов, о к-рых идет речь в данном рассуждении, составляет предпосылку применимости принципа А = А как логич. принципа. Метафизич. истолкование формулы А = А исходит из того, что различение и отождествление объектов познания всегда может быть осуществлено, что вопрос о тождестве или различии всегда однозначно определен по самой сущности вещей. Однако такое представление ошибочно. Данные науки – в полном согласии с философией диалектич. материализма – показали, что существуют области (напр., объектов микромира), где индивидуализация предметов наталкивается на трудности принципиального характера (и где поэтому приходится применять вероятностный подход). Все это также накладывает определенные ограничения на сферу применимости формулы А = А.
Наконец, источником ограниченности принципа, выражаемого формулой А = А, являются нек-рые свойства естественных человеч. языков. Выражения языка носят осмысленный характер. Формулу А = А в ее логич. аспекте можно рассматривать как требование, чтобы каждое осмысленное выражение нек-рого языка, употребляемое в данных контекстах, сохраняло один и тот же смысл. Выполнение же этого требования существенно зависит от возможности различения и отождествления смыслов языковых выражений. Но решение этой задачи в применении к естественным языкам наталкивается на серьезные трудности. В естественных языках проблема различения и отождествления смыслов языковых выражений не может быть полностью сведена к задаче различения и отождествления языковых выражений по их синтаксической структуре (хотя и эта задача, как показывают работы по автоматическому переводу с одного языка на другой, достаточно сложна), ибо семантика языка постоянно развивается и смыслы выражений зависят не только от формальных синтаксич. свойств выражений и их лингвистич. окружения, но и от ситуации, в к-рой происходит общение людей, от психологич. факторов, от дополнения языка средствами эмоциональной выразительности и т.п., короче – от прагматики языка. Задача различения и отождествления смыслов выражений в естественном языке решается только за счет его нек-рого упрощения. Это упрощение равносильно выделению (в нек-ром смысле) из данного языка его фрагмента, для выражений к-рого можно ввести более строгие критерии различения и отождествления смыслов выражений. Однако на этом упрощенном языке уже нельзя выразить всего того, что может быть выражено на первоначальном естественном языке (см. также Логическая семантика, Семиотика).
Относительно строго решается вопрос о различении и отождествлении смыслов выражений в т.н. формализованных языках (напр., в интерпретированных исчислениях математической логики). Выражения исчисления строятся по точно установленным правилам; для любых двух выражений исчисления (записанных достаточно разборчиво) задача их различения и отождествления всегда (в принципе) решается. При интерпретации исчисления обычно заранее предполагается, что предметы, составляющие предметную область, выбраны так, что мы можем отвлечься от происходящих с ними изменений и их взаимодействия и рассматривать каждый из них как совершенно фиксированный, неменяющийся, "жесткий" предмет, полностью отличный от других предметов. В таком формализованном языке каждое выражение употребляется в одном и том же смысле, а каждый предмет из области интерпретации исчисления подчиняется онтологич. принципу А = А. В исчислениях обычно встречаются формулы, являющиеся формальными аналогами содержательного принципа А = А. Вид этих формул зависит от типа исчисления. Напр., в обычном исчислении высказываний (см. Исчисления высказываний) такими формулами являются: А -> А (читается "из А следует A"), A [B]? A ("А эквивалентно А"), в исчислении предикатов (см. Исчисления предикатов), кроме того, формулы V x (Ф(x) -> Ф(x)) ("для всякого предмета x рассматриваемой области верно, что если x имеет свойство Ф, то x имеет это свойство") и V x (Ф(x) =?(x)), а в исчислении предикатов с равенством - еще и формула а = а ("любой предмет а рассматриваемой области равен самому себе"). В аксиоматически построенных исчислениях формулы такого рода являются доказуемыми (из аксиом исчисления по его правилам вывода) либо входят во множество аксиом исчисления.
То, что исчисления математич. логики как системы материальных объектов (букв и формул, записанных мелом на доске или нанесенных с помощью типографской краски на бумагу и т.п.) устраиваются так, что они вполне подчиняются принципу А = А, не означает, что с помощью формальных средств исчислений (проинтерпретированных соответствующим образом) нельзя выражать факта изменяемости вещей внешнего мира. Возможны исчисления, при интерпретации к-рых в предметной области допускаются, помимо "жестких" предметов, еще и такие, для к-рых не выполняется принцип тождества и к-рые поэтому можно истолковать как изменяющиеся (таково, напр., одно из исчислений, построенных польским логиком Лесневским), или исчисления, нек-рые из выражений к-рых естественно интерпретировать как понятия, не имеющие фиксированного объема, т.е. как понятия с изменяющимся объемом (исчисление такого рода было предложено сов. логиком Д. А. Бочваром). Т.о., развитие математической логики, естественно, привело к результатам, свидетельствующим об ограниченности принципа тождества. См. также Тождества закон, Тождества проблемы, Тождество, Равенство (в логике и математике).
Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, ?., 1957, с. 52. 112–21, 356–57; его же, Диалектика природы, М., 1955, с. 159, 168–70, 212; Ленин В. И., Философские тетради, Соч., 4 изд., т. 38; Асмус В. Ф., Логика, М., 1947, с. 15-17, Бакрадзе К., Логика, Тб., 1951, с. 415–19; Минто В., Дедуктивная и индуктивная логика, 6 изд., М., 1909, с. 36–49; Бочвар Д. А., К вопросу о парадоксах и к проблеме расширенного исчисления предметов, 1957, "Матем. сб.", т. 42(84), No 1; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948 ([гл.] 3 и предисловие С. А. Яновской); Карнап Р., Значение и необходимость, пер. с англ., М., 1959 (Предисловие С. А. Яновской); Sоbосinski В., L'analyse de l'antinomie russelienne par Lesniewski, "Methodos", v. 1, 1949, p. 94–107, 220–28, 308–16, v. 2, 1950, p. 237–57; Pap A., Semantics and necessary truth – an inquiry into the foundations of analytic philosophy, New Haven, 1958.
Б. Бирюков. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

А=А
    А = А — в традиционной логике обычный способ выражения для одного из четырех ее логических законов (см. Закон логический), а именно — закона тождества. Вхождение в этом выражении буквы А несущественно и обязано, по-видимому, особенности латинского алфавита. Равным образом для выражения того же закона можно было бы писать В-В, С^С и т.д. В Современной логике (см. Логика символическая) традиционная нотация не используется. В логике высказываний она заменяется формулами (А=А) или (А=”А), где А—произвольное высказывание, а “=” и “=>” — пропозициональные логические связки. В логике предикатов формула ? =х (или у=у, г=г и т. д.), где предметные переменные х, у, г “пробегают” по множеству объектов универсума (предметной области), выражает одно из свойств логического равенства, а именно свойство рефлексивности равенства (или тождества). В узком исчислении предикатов она является частью аксиоматического определения равенства, а в расширенном исчислении доказывается как теорема.
    ?. ?. Новосёлов
    ФОРМУЛА А ЕСТЬ А (А=А) использовалась Лейбницем для обозначения принципа тождества. Хотя Аристотель и отмечает, что “все истинное должно во всех отношениях быть согласно с самим собой” (Аристотель. Соч., т. 2. M., 1978, с. 185), он формулирует закон запрещения противоречий, но не закон тождества. Р. Декарт относит положение, согласно которому “немыслимо одновременно быть и не быть одним и тем же”, к вечными истинам — к фундаментальным аксиомам научного знания. Д. Локк признает положение, согласно которому “одна и та же вещь не может быть и не быть”, самоочевидным и несомненным (Локк Д. Соч., т. 2. M., 1985, с. 69-73). Лейбниц, проводя различие между двумя типами научных высказываний — “истинами разума” и ”истинами факта”, усматривает в тождественных положениях, к которым сводятся все положения математики, абсолютно первые истины. “Великой основой математики является принцип противоречия, или тождества, т. е. положение о том, что суждение не может быть истинным и ложным одновременно, что, следовательно, А есть А и не может быть не=А. Один этот принцип достаточен для того, чтобы вывести всю арифметику и всю геометрию, а стало быть, все математические принципы” (Лейбниц Г. В. Соч., т. 1. M., 1982, с. 433). Для Лейбница предложение А=А является истинным само по себе, и из этих тавтологий можно вывести все истинные утвержения математики (там же, т. 3. M., 1984, с. 567). В логических работах 1680—90 (“Логические определения”, “Математика разума” и др.) он ставит задачу построить силлогистику на минимальных логических основаниях (к ним он относит принцип тождества: “Всякое А есть А” и “Некоторое А есть А”) и синтетическим методом вывести силлогистику. Лейбниц исходит из логико-гносеологического статуса принципа тождества, подчеркивая, что “не бывает никаких двух неразличимых друг от друга отдельных вещей”. Отрицая онтологическую интерпретацию принципа тождества, он настаивает на том, что “полагать две вещи неразличимыми—означает полагать одну и ту же вещь под двумя именами” (Лейбниц Г. В. Соч., т. 1. M., 1962, с. 450). Онтологическое обоснование принципа тождества, для которого каждая вещь тождественна себе самой, было дано X. Вольфом: “То же самое сущее есть то самое сущее, которое является сущим. Или, иначе говоря, всякое А есть A” (Waif Ch. Phuosophia prima sive ontologia, 1736, § 55). Для И. Канта тождество познания с самим собой—формальный критерий истинности знания и принцип выведения всех истин. Он рассматривает аналитические суждения как те, в которых связь предиката с субъектом мыслится через тождество (Кант И. Соч., т. 3. M., 1964, с. 111). Фихте выводит принцип тождества А = А из первоначального акта деятельности Я: принцип Я "Я (“Я есть”) является основанием принципа тождества А=А. Положение А=А “признается за нечто совершенно достоверное и установленное” (Фихте Я. Г. Соч., т. l. M., 1995, с. 283), “не положение А=А служит основанием для положения “Я есмь” а, наоборот, это последнее положение обосновывает собою первое” (там же, с. 287). Эта же линия различения формального и материального принципов и критики формального понимания принципа тождества А = А характерна и для Шеллинга. Рассматривая формальную формулу А "А, он отмечает, что “логический характер в нем носит лишь форма тождественности между А и А; но откуда у меня само А? Если А есть, то оно равно само себе, но откуда оно? Ответ на этот вопрос может быть, без сомнения, дан исходя не из этого положения, а из чего-то более высокого. Анализ А^А предполагает синтез А... невозможно мыслить формальный принцип, не предпосылая ему материальный, а также материальный, не предпосылая ему формальный” (Шеллинг Ф. В. И. Соч., т. 1. M., 1984, с. 250). Формула принципа тождества А=А возникает благодаря абстрагированию от содержания субъекта А, и всякое синтетическое знание должно выходить за пределы тождественности мышления и тем самым положения А=А, которое предполагает мышление, становящееся объектом для самого себя, т. е. предполагает самосознание. Положение А^А интерпретируется им как принцип безусловного и абсолютного разумного познания, как выражение вечного и необходимого равенства субъекта и объекта, как воплощение самосознания разума. По Эшенмайеру, логическая формула А3" А выводится из первоначального тождества Яс самим собой (Eschenmayer К. A. Psychologie. Tub., 1817, S. 296). Гегель, который положил начало критике формальной логики, считал формулу А=А пустой и лишь законом абстрактного рассудка. По его словам, “никакое сознание не мыслит... не говорит согласно этому закону... Выражения, следующие этому нормативному закону истины (планета есть планета, магнетизм есть магнетизм, дух есть дух), справедливо считаются глупыми” (Гегель Г. В. Ф. Соч., т. 1. М.-Л., 1929, с. 197).
    Эта же линия критики принципа тождества как пустого и лишенного смысла представлена у Ф. Э. Бенеке, И. Ремке, Ф. Маутнера. Для марксистской философии принцип тождества (А = А) есть основной принцип метафизического мировоззрения, согласно которому каждая вещь равна самой себе и считается постоянной (см., напр.: Энгельс Ф. Диалектика природы. М., 1955, с. 170). Это и было основанием критики формальной логики и попыток построения новой диалектической логики, исследующей принципы анализа изменчивости явлений, различных процесов природы, общества и мышления. Эта же линия критики принципа тождества обращается А. Бергсоном против не только формальной логики как логики твердых тел, но и интеллекта.
    В кон. 19 в. для логики и методологии науки характерна абсолютизация принципа тождества. Так, в теории дедукции У. С. Джевонса проводится мысль о том, что “вещь во всякий момент тождественна сама с собой” (Джеввнс У. С. Основы науки. 1874. СПб., 1881, с. 5), и выдвигается принцип замещения, согласно которому “всякий термин, встречающийся в каком-либо предложении, можно замещать термином, о котором утверждается в какой-нибудь посылке, что он тождествен с первым” (там же, с. 48). Вместе с тем в философии и логике начинается, с одной стороны, ограничение предметной области принципа тождества, а с другой—различение предмета и предметного содержания актов мысли. Так, Б. Эрдман исходит из принципа нетождественности, отмечая, что любой предмет, поскольку он тождествен с самим собой, отличается от другого. Согласно X. Зигварту, формула А=А фиксирует константность содержания представлений и понятий. Это же отмечает и В. Вундт, для которого принцип тождества как фундаментальный закон познания фиксирует устойчивость нашего логического мышления во всех его преобразованиях. В отличие от них Г. Дриш считает принцип тождества нормой не просто мысли, но и ее предметного содержания. Для Э. Гуссерля, Н. О. Лосского, М. Шелера формула А=А выражает то, что во всех актах суждения объективное содержание А остается одним и тем же. Г. Фреге, понимая под принципом А=А принцип равенства, или тождества, усматривает в нем отношение между знаками предметов, а не отношение между предметами (Фреге Г. Смысл и значение.—В кн.: Избр. работы. М., 1997, с. 25). Согласно Фреге, смысл и значение относятся к разным сферам (мысль—смысл предложения, а значение—обозначаемый предмет) и необходимо проводить различие между “выражением” и “обозначением”. В центре внимания логиков вновь оказалась проблема тождества, сходства и равенства. Для Э. Гуссерля там, где имеется равенство, имеется и тождество в истинном смысле слова. Классы и определяются как совокупность равных себе сущностей, которые являются элементами одного и того же класса. Однако отношение “одних и тех же сущностей” предполагает отношение равенства более высокого типа и так далее до бесконечности. Тем самым платоновское обоснование принципа тождества увеличивает сущности до бесконечности. В это же время Э. Бугру анализирует связь принципа тождества и законов природы, Э. Мейерсон раскрывает значение способности разума к идентификации в формировании категорий причинности, закона и др. В номинализме С. Лесьневского было раскрыто смешение коллективного и дистрибутивного истолкования слова “класс” в теории парадоксов Б. Рассела и проведено различение мереологии и онтологии. В ходе обсуждения в 20 в. предметной области логики равенство стало пониматься как основание абстракции.
    Лит.: Философия в современном мире. Философия и логика, М., 1974; Бирюков Б. В. Феноменология в контексте философии математики: Гуссерль— Фреге— Беккер—Вейль.—“Филос. науки”, 1989, № 2; Аналитическая философия: избр. тексты. М., 1993; Аналитическая философия: становление и развитие (Антология). М., 1998; Смирнов В. А. Логика и философия науки. М., 1999; Кюнг Г. Онтология и логический анализ языка. М., 1999.
    А. П. Огурцов

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.